等差数列的前等差数列的前 n n 项和项和教学设计教学设计一、设计理念一、设计理念让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展，让学生利用自己的原有认知结构中相关的知识与经验，自主地在教师的引导下促进对新知识的建构，因为建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的过程在教学过程中，根据教学内容，从介绍高斯的算法开始，探究这种方法如何推广到一般等差数列的前 n 项和的求法通过设计一些从简单到复杂，从特殊到一般的问题，层层铺垫，组织和启发学生获得公式的推导思路，并且充分引导学生展开自主、合作、探究学习，通过生生互动和师生互动等形式，让学生在问题解决中学会思考、学会学习同时根据我校的特点，为了促进成绩优秀学生的发展，还设计了选做题和探索题，进一步培养优秀生用函数观点分析、解决问题的能力，达到了分层教学的目的二、背景分析二、背景分析本节课教学内容是高中课程标准实验教科书必修 5 5（北师大）中第二章的第三节内容本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前 n 项和以及该求和公式的应用等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题同时，求数列前 n 项和也是数列研究的基本问题，通过对公式推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法三、学情分析三、学情分析1、学生已掌握的理论知识角度：学生已经学习了等差数列的定义及通项公式，掌握了等差数列的基本性质，有了一定的知识准备。2、学生了解数列求和历史角度：大部分学生对高斯算法有比较清晰的认识，并且知道此算法原理，但在高斯算法中数列 1，2，3，100 只是一个特殊的等差数列，对于一般的等差数列的求和方法和公式学生还是一无所知。3、学生的认知规律角度：本节课采取了循序渐进、层层深入的教学方式，以问题解答的形式，通过探索、讨论、分析、归纳而获得知识，为学生积极思考、自主探究搭建了理想的平台，让学生去感悟倒序相加法的和谐对称以及使用范围。四、教学目标四、教学目标1、类比高斯算法，探求等差数列前项和公式，理解公式的推导方法；n2、能较熟练地应用等差数列前项和公式解决相关问题；n3、经历公式的推导过程，体会层层深入的探索方式，体验从特殊到一般、具体到抽象的研究方法，学会观察、归纳、反思与逻辑推理的能力；4、通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感，体验在学习中获得成功；五、教学重点与难点五、教学重点与难点1 1、教学重点：、教学重点：等差数列前项和公式的推导和应用n2 2、教学难点：、教学难点：公式推导的思路3 3、重难点解决的方法策略：、重难点解决的方法策略：本课在设计上采用了从特殊到一般、从具体到抽象的教学策略。利用分类讨论、类比归纳的思想，层层深入。通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，通过教师的点拨引导、师生互动、讲练结合，突出重点、突破难点。六、教学过程设计六、教学过程设计（一）创设情景，提出问题（一）创设情景，提出问题欣赏图片泰姬陵：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是 17 世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建。它宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶嵌，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有 100 层，奢靡之程度，可见一斑。问题问题 1 1：你能计算出这个图案一共花了多少颗宝石吗？教师活动：教师活动：利用多媒体，展示泰姬陵的图片，并截取出三角形宝石图案，引导学生观察宝石数目变化情况。学生活动：学生活动：欣赏之余观察三角形中宝石变化情况并尝试解决问题 1.活动预设：活动预设：（1）能得到的信息：从上到下，宝石数目以 1 为公差依次递增，构成等差数列。（2）需要解决的问题：100 层中究竟共有多少颗宝石？【设计意图设计意图】 （1）教师先用多媒体展示彩图呈现的问题，使学生进入问题情境，激发学生的兴趣，并使学生体会数学来源于生产生活。（2）以问题的提出作为引入方式，使学生带着问题学习新课，更有目的性。（二）探究等差数列前（二）探究等差数列前 n n 项和公式项和公式教师活动：教师活动：指出此数列的求和方法在 1787 年已被高斯解决，让学生讲高斯故事。学生活动：学生活动：学生根据课前的搜集简介高斯“神速求和”的故事：小高斯上小学四年级时，一次数学老师布置了一道数学习题：把从 1 到 100 的自然数加起来，和是多少？年仅 10岁的小高斯略一思索就得到答案：5050，这使老师非常吃惊。问题问题 1 1：高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出答案的呢？教师活动：教师活动：指导学生快速找出规律。学生活动：学生活动：高斯算法解决：1 + 2 + 3 + + 50 + 51 + + 98 + 99 + 100=？活动预设：活动预设：高斯算法：1+100=101,2+99=101，50+51=101，所以原式=50（1+101）=5050问题问题 2 2：在高斯算法中实际上利用了等差数列通项的哪种性质？教师活动：教师活动：引导学生思考高斯算法的技巧性及理论依据。学生活动：学生活动：利用高斯算法计算答案，并指出算法的技巧性以及高斯算法隐藏的等差数列项的何种性质。活动预设：活动预设：构造数列：，则有性质：12991001,2,99,100aaaa等差数列中，若，则。namnpqmnpqaaaa【设计意图设计意图】高斯算法首尾组合的思想揭示了等差数列“角标和相等，对应的项和相等”的特征，为等差数列前项和公式的推导的“倒序相加法”做好铺垫，开启了更深入、n更细致的研究大门。问题问题 3 3：你能否利用高斯算法解决一般等差数列的求和问题？方法：倒序相加法方法：倒序相加法 （借助几何图形之直观性，把这个（借助几何图形之直观性，把这个“全等三角形全等三角形”倒置，与原图补倒置，与原图补成平行四边形，成平行四边形，由此引入倒序相加法）教师活动：教师活动：12321nnnnSaaaaaa12321nnnnSaaaaaa12132231212()()()()()()nnnnnnnSaaaaaaaaaaaa由性质“若，则”可得：mnpqmnpqaaaa（等差数列前项和公式）1 1()2()2n nnnn aaSn aaSn【设计意图设计意图】 （1）数学问题的解决讲究最优化原则，因此引导让学生体会到数学方法的多样性，但需要寻求高效率的方法；（2）倒序相加求和法是数列求和常用方法之一，方法比公式本身更为重要，也为以后数列求和的学习做好铺垫；（三）公式理解和深化（三）公式理解和深化公式一、1()2nnnSaa问题问题 1 1：此公式中有哪些变量，已知哪些量可求另外量？教师活动：教师活动：引导学生找出变量学生活动：学生活动：观察公式，找出变量。活动预设：活动预设：此公式中，共有四个变量：，可知三求一。1, ,nnSn a a【设计意图设计意图】让学生从变量上理解公式，从形式上初步了解如何由已知探求未知，在头脑中初步建构公式的适用情况。问题问题 2 2：此公式还可进行怎样的变形？教师活动：教师活动：引导学生从下手对公式进行变形，投影学生的变形过程。na学生活动：学生活动：尝试对公式进行变形。活动预设：活动预设：公式二、1(1)2nn nSnad【设计意图设计意图】 （1）让学生学会在旧知与新知之间搭建桥梁，运用旧知巩固新知，利用旧知得出新知；（2）体会知识之间的整体性和关联性，感受运用旧知推导新知的成功和喜悦。问题问题 3 3：观察、对比公式一、二，你能得出什么结论有利于你解题时对公式进行筛选？教师活动：教师活动：引导学生从两个公式中的变量进行总结。学生活动：学生活动：总结出两公式的区别及适用情况。活动预设：活动预设：（1）在两个公式，五个变量中：，可知三求二1, , ,nna n d a S（2）若已知，优先选用公式一，若已知，优先选用公式二。nad【设计意图设计意图】通过两公式的对比研究，可进一步加深学生对公式的记忆，公式一、二的区别可提高学生的做题速度和质量，再一次体现了数学的简洁美和精准性。（四）公式应用、反馈评价（四）公式应用、反馈评价课堂练习之课堂练习之“争分夺秒争分夺秒”：五个元素五个元素 a a1 1, , a an n, , n,n, d,d, S Sn n ，知知 三三 求求 二二你能自己构造一个类似的题目并自己解决吗？你能自己构造一个类似的题目并自己解决吗？变式训练：变式训练：例例 2.2.等差数列等差数列1010，6 6， 2 2，2 2，前多少项和是前多少项和是 54?54?解：解：aa1 1=-10,d=-6=-10,d=-6(-10)=4(-10)=4-10n+n(n-1)-10n+n(n-1) 22 4=544=54解得解得 n=9n=9，n=-3(n=-3(舍舍) )前前 9 9 项的和是项的和是 54541nnn1(1)a14.5d0.7a32;(2)d3a20S65a1n n n已已知知，求求S S已已例例、在在等等差差数数知知，求求列列中中：和和；ndsaann,999,54,20) 1 (1求变式训练：求等差数列变式训练：求等差数列 1313，1515，1717，8181 的各项和的各项和例例 3 3 已知一个等差数列的前已知一个等差数列的前 1010 项的和是项的和是 310310，前，前 2020 项的和是项的和是 12201220，由此可以确定求其，由此可以确定求其前前 n n 项和的公式吗？项和的公式吗？ 教师活动：教师活动：分析解决问题，组织学生交流、讨论，再进行公式的应用。【设计意图设计意图】透过此题，培养学生 熟练地选取恰当的公式进行求解。六、布置作业六、布置作业1.课本 P46习题 2.3，第 1 题（1） （3）七、板书设计七、板书设计八、教学反思八、教学反思“等差数列前 n 项和”的推导不只一种方法，本节课是通过介绍高斯的算法，探究这种方法如何推广到一般等差数列的求和该方法反映了等差数列的本质，可以进一步促进学生对等差数列性质的理解，而且该推导过程体现了人类研究、解决问题的一般思一、等差数列前 n 项和：12nnSaaa二、公式的推导 方法：倒序相加法 三、深化公式 公式 1、 公式 2、 变形： （主板书）四、课堂练习（副板书）（辅助性板书）3.3 等差数列前 n 项和2(1)46 32n nSnnnn 1020310,1220SS又1(1) 2nn nSnad111045310201901220adad146ad路本节课教学过程的难点在于如何获得推导公式的“倒序相加法”这一思路为了突破这一难点，在教学中采用了以问题驱动的教学方法，设计的三个问题体现了分析、解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼方法，再试图运用这一方法解决一般问题在教学过程中，通过教师的层层引导、学生的合作学习与自主探究，尤其是借助图形的直观性，学生“倒序相加法”思路的获得就水到渠成了