数学(一)试题 第1页(共13页)2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.)(1)=.exxdx2ln(2)已知函数由方程确定,则=.( )yy x0162xxyey(0)y(3)微分方程满足初始条件的特解是.02 yyy0011,2xxyy(4)已知实二次型经正交变换3231212 32 22 1321444)(),(xxxxxxxxxaxxxf可化成标准型,则=.xPy2 16yf a(5)设随机变量服从正态分布,且二次方程无实根的概X2( ,)(0)N 042Xyy率为,则.1 2二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)考虑二元函数的下面 4 条性质:),(yxf在点处连续;在点处的两个偏导数连续;),(yxf),(00yx),(yxf),(00yx在点处可微;在点处的两个偏导数存在),(yxf),(00yx),(yxf),(00yx若用“”表示可由性质推出性质,则有PQPQ(A) .(B) .(C) .(D) .(2)设,且,则级数0(1,2,3,)nunLlim1 nnn u11111( 1)()nnnnuu (A) 发散.(B) 绝对收敛.(C) 条件收敛.(D) 收敛性根据所给条件不能判定.数学(一)试题 第2页(共13页)(3)设函数在内有界且可导,则( )yf x(0,)(A) 当时,必有.0)(lim xf x0)(lim xf x(B) 当存在时,必有.)(limxf x 0)(lim xf x(C) 当时,必有. 0lim( )0 xf x 0lim( )0 xfx (D) 当存在时,必有. 0lim( ) xfx 0lim( )0 xfx (4)设有三张不同平面的方程,它们所组成的线性方程组的系123iiiia xa ya zb3 , 2 , 1i数矩阵与增广矩阵的秩都为,则这三张平面可能的位置关系为(5)设和是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为和,1X2X1( )f x2( )fx分布函数分别为和,则1( )F x2( )F x(A)必为某一随机变量的概率密度.1( )f x2( )fx(B)必为某一随机变量的概率密度.1( )f x2( )fx(C)必为某一随机变量的分布函数.1( )F x2( )F x(D)必为某一随机变量的分布函数.1( )F x2( )F x三、(本题满分 6 分)设函数在的某邻域内具有一阶连续导数,且,若)(xf0x (0)0,(0)0ff 在时是比高阶的无穷小,试确定的值.( )(2 )(0)af hbfhf0hhba,数学(一)试题 第3页(共13页)四、(本题满分 7 分)已知两曲线与在点处的切线相同,写出此切线方程,并求极限)(xfy xtdteyarctan02(0,0).)2(limnnf n五、(本题满分 7 分)计算二重积分,其中.dxdyeDyx,max2210 , 10| ),(yxyxD六、(本题满分 8 分)设函数在内具有一阶连续导数,是上半平面(0)内的有向分段光滑曲线,)(xf(,) Ly其起点为(),终点为().记ba,dc,22 211()() 1, LxIy f xy dxy f xydyyy(1)证明曲线积分与路径无关;IL(2)当时,求的值.cdab I七、(本题满分 7 分)(1)验证函数满足微分方程333369( )1()3!6!9!(3 )!nxxy xxn LL;xeyyy (2)利用(1)的结果求幂级数的和函数.30(3 )!nnx n八、(本题满分 7 分)设有一小山,取它的底面所在的平面为坐标面,其底部所占的区域为xOy2( , )|Dx yx,小山的高度函数为.275yxy),(yxhxyyx2275(1)设为区域上一点,问在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?),(00yxMD),(yxh数学(一)试题 第4页(共13页)若记此方向导数的最大值为,试写出的表达式.),(00yxg),(00yxg(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一上山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说,要在的边界线上找出使(1)中达到最大值的点.试确定攀登D2275xyxy),(yxg起点的位置.九、(本题满分 6 分)已知四阶方阵,均为维列向量,其中线性无关,),(4321A4321,4432,如果,求线性方程组的通解.32124321Ax十、(本题满分 8 分)设为同阶方阵,A B(1)若相似,证明的特征多项式相等.,A B,A B(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.(3)当均为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.,A B十一、(本题满分 7 分)设维随机变量的概率密度为X10,cos,( )22 0,xxf x 其他.对独立地重复观察次,用表示观察值大于的次数,求的数学期望.XY32Y十二、(本题满分 7 分)设总体的概率分布为X X0123P2)1 (2221其中是未知参数,利用总体的如下样本值1(0)2X数学(一)试题 第5页(共13页)3,1,3,0,3,1,2,3,求的矩估计值和最大似然估计值.2002 年考研数学一试题答案与解析一、填空题(1)【分析】原式2ln11.lnlneedx xx (2)【分析】方程两边对两次求导得x 6 620,ye yxyyx26 12 20.yye ye yxyy以代入原方程得,以代入得,再以代入得0x 0y 0xy0,y 0xyy(0)2.y (3)【分析】这是二阶的可降阶微分方程.令(以为自变量),则( )yP yy.dydPdPyPdxdxdy代入方程得,即(或,但其不满足初始条件).20dPyPPdy0dPyPdy0P 012xy分离变量得0,dPdy Py积分得即(对应);lnln,PyC1CPy0P 10C 由时得于是0x 11,2yPy11.2C 数学(一)试题 第6页(共13页)积分得.1,2,2yPydydxy2 2yxC又由得所求特解为01xy21,C 1.yx(4)【分析】因为二次型经正交变换化为标准型时,标准形中平方项的系数就是二次型矩阵Tx Ax的特征值,所以是的特征值.A6,0,0A又因,故iiia600,2.aaaa(5)【分析】设事件表示“二次方程无实根”,则A042Xyy1640AXX依题意,有4.1( )4.2P AP X而44141(),P XP X 即4141 41(),(),0.4.22二、选择题(1)【分析】这是讨论函数的连续性,可偏导性,可微性及偏导数的连续性之间的关( , )f x y系.我们知道,的两个偏导数连续是可微的充分条件,若可微则必连续,故选(A).( , )f x y( , )f x y(2)【分析】由充分大时即时,且不妨认为1lim101nnunn ,N nN10nu1lim0, nnu因而所考虑级数是交错级数,但不能保证的单调性.,0,nn u1nu按定义考察部分和数学(一)试题 第7页(共13页)111111111111( 1)()( 1)( 1)nnn kkk n kkkkkkkSuuuu1111111( 1)11( 1)1( 1)(),knnn lklklnnuuuuu 原级数收敛.再考察取绝对值后的级数.注意1111()nnnuu1111 12,11nnnnuunnn uun n发散发散.因此选(C).11nn1111()nnnuu(3)【分析】证明(B)对:反证法.假设,则由拉格朗日中值定理,lim( )0 xfxa (2 )( )( )()fxf xfxx (当时,因为);但这与矛盾x 2xx(2 )( )(2 )( )2fxf xfxf xM( ).f xM(4)【分析】因为,说明方程组有无穷多解,所以三个平面有公共交点且不唯( )( )23r Ar A一,因此应选(B).(A)表示方程组有唯一解,其充要条件是( )( )3.r Ar A(C)中三个平面没有公共交点,即方程组无解,又因三个平面中任两个都不行,故和( )2r A ,且中任两个平行向量都线性无关.( )3r A A类似地,(D)中有两个平面平行,故,且中有两个平行向量共线.( )2r A ( )3r A A(5)【分析】首先可以否定选项(A)与(C),因数学(一)试题 第8页(共13页)121212( )( )( )( )21,()()1 121.f xfx dxf x dxfx dxFF 对于选项(B),若则对任何121, 21,1,01,( )( )0,0,xxf xfx 其他，其他，(,),x ,因此也应否定(C),综上分析,用排除法应选(D).12( )( )0f x fx 12( )( )01,f x fx dx进一步分析可知,若令,而则的分布函数恰是12max(,)XXX( ),1,2,iiXf x i X( )F x12( )( ).F x F x1212( )max(,),F xPXXxP Xx Xx1212 ( )( ).P Xx P XxF x F x三、 【解】用洛必达法则.由题设条件知由于,故必有 0lim( )(2 )(0)(1) (0). haf hbfhfabf (0)0f 10.ab 又由洛必达法则 00( )(2 )(0)( )2(2 )limlim1hhaf hbfhfafhbfh h(2 )(0)0,ab f及,则有.(0)0f 20ab综上,得2,1.ab 四、 【解】由已知条件得(0)0,f2 2arctanarctan0020(0)()1,1xxt xxxefedtx 故所求切线方程为.由导数定义及数列极限与函数极限的关系可得yx02( )(0)2( )(0)lim( )2lim2lim2(0)2.2nnxfff xfnnffnx n数学(一)试题 第9页(共13页)五、 【分析与求解】是正方形区域如图.因在上被积函数分块表示DD2 222,max,( , ),xxyxyx yDyxy于是要用分块积分法,用将分成两块:yxD1212,.DDD DDyxDDyxUIII222212max,max,xyxyDDedxdyedxdy(关于对称)2221212xyxDDDe d