BornBorn toto winwin2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分，把答案填在题中横线上分，把答案填在题中横线上)(1) 设函数在处连续，则 .tan21,0 arcsin( )2 ,0xxexxf xaex 0x a (2) 位于曲线下方，轴上方的无界图形的面积是_.(0)xyxex x(3) 微分方程满足初始条件的特解是_.20yyy0011,2xxyy(4) _ .12lim1 cos1 cos.1 cos nn nnnn (5) 矩阵的非零特征值是_.022 222 222 二、选择题二、选择题(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分，在每小题给出的四个选项中，只有一分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设函数可导，当自变量在处取得增量时，相应的( )f u2()yf xx1x 0.1x 函数增量 的线性主部为，则=( )y0.1(1)f (A)1 (B)0.1 (C)1 (D)0.5(2) 设函数 连续，则下列函数中，必为偶函数的是( )( )f x(A) (B)20( )xf t dt20( )xft dt(C) (D) 0 ( )()xt f tft dt0 ( )()xt f tft dt(3) 设是二阶常系数微分方程 满足初始条的( )yx3xypyqye(0)(0)0yy特解，则当，函数的极限( )0x 2ln(1) ( )x y x(A)不存在 (B)等于1 (C)等于2 (D)等于3(4) 设函数在内有界且可导，则( )( )yf x(0,)(A)当时，必有.lim( )0 xf x lim( )0 xfx BornBorn toto winwin(B)当存在时，必有.lim( ) xfx lim( )0 xfx (C)当时，必有. 0lim( )0 xf x 0lim( )0 xfx (D)当存在时，必有. 0lim( ) xfx 0lim( )0 xfx (5) 设向量组线性无关，向量 可由线性表示，而向量 不能由123, 1123, 2线性表示，则对于任意常数 ，必有( )123, k(A) , 线性无关； (B) , 线性相关；123, 12k123, 12k(C),线性无关； (D),线性相关123, 12k123, 12k三、三、(本题满分本题满分 6 分分)已知曲线的极坐标方程是 ，求该曲线上对应于处的切线与法线的1 cosr 6直角坐标方程.四、四、(本题满分本题满分 7 分分)设求函数的表达式.2232,102( ) ,01(1)xxxxx f xxexe 1( )( )xF xf t dt 五、五、(本题满分本题满分 7 分分)已知函数在内可导， , 且满足( )f x(0,)( )0f x lim( )1 xf x ,求.110()lim()( )hxhf xhxef x( )f x六、六、(本题满分本题满分 8 分分)求微分方程的一个解,使得由曲线， 与直线(2 )0xdyxy dx( )yy x( )yy x以及轴所围成的平面图形绕轴旋转一周的旋转体体积最小.1,2xxxxBornBorn toto winwin 七、七、(本题满分本题满分 7 分分)某闸门的性状与大小如图所示，其中直线 为对l 称轴，闸门的上部为矩形，下部由二次抛物线ABCD 与线段所围成，当水面与闸门的上端相平时，欲使AB 闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5：4，闸门矩形部分的高 应为多少 (米)？hm八、八、(本题满分本题满分 8 分分)设，证明数列的极限存在，并求此极限.1103,(3)(1,2,)nnnxxxxn nx九、九、(本题满分本题满分 8 分分)设，证明不等式0ab222lnln1.aba abbaab十、十、(本题满分本题满分8分分)设函数 在的某邻域内具有二阶连续导数，且 ( )f x0x (0)0,(0)0,ff (0)0.f 证明:存在惟一的一组实数，使得当时，123, 0h 123( )(2 )(3 )(0)f hfhfhf是比高阶的无穷小.2h十一、十一、(本题满分本题满分 6 分分)已知为3 阶矩阵，且满足,其中是3阶单位矩阵.,A B124A BBEE(1) 证明：矩阵可逆；2AE(2) 若,求矩阵120 120 002B . A十二、十二、(本题满本题满 6 分分)已知 4 阶方阵均为 4 维列向量，其中线性1234(,),A 1234, 234, 无关，.如果，求线性方程组的通解.12321234AxD 1m 1m C A B 1ml hBornBorn toto winwin2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题一、填空题(1)【答案】 -2 【详解】如果分段函数连续，则在 0 点处的左右极限相等，从而确定的值( )f x( )f xa当时，；，所以有0x tan1tanxexx:arcsin22xx:tan00001tanlim( )limlimlim2 arcsin222xxxxxexxf xxxx =；200lim( )lim(0)xxxf xaeaf 如果在处连续，必有 即( )f x0x (0 )(0 )(0),fff2.a (2)【答案】 1 【详解】面积 000xxxxSxe dxxdexee dx lim00xxxxbbxeexee lim11bbbbee 其中 1limlimlim0b bbbbbbbeee洛(3)【答案】1yx【详解】方法方法 1：这是属于缺的类型 命x( ,)yf y y,dpdp dydpyp ypdxdy dxdy原方程化为，得20yyy20dpyppdy或0p 0dpypdyBornBorn toto winwin，即，不满足初始条件，弃之；所以0p 0dy dx102yx0p 所以，分离变量得，解之得 即0dpypdydydp yp 1.Cpy1.Cdy dxy由初始条件，可将先定出来： 于是得11, 002yyxx1C1 111,212CC1 2dy dxy解之得，以代入，得，所以应取“+”2 22,yxCyxC 01xy21C 号且 于是特解是21C 1yx方法方法 2：将改写为，从而得 以初始条件20yyy()0yy 1yyC 代入，有，所以得 即，改写为1(0)1,(0)2yy1112C1 2yy 21yy 解得再以初值代入，所以应取2()1y 2,yxC2yxC 21C 且 于是特解“ “21C 1yx(4)【答案】2 2 【详解】利用定积分的概念将被积函数化为定积分求极限因为 12lim1 cos1 cos.1 cos nn nnnn 11lim1 cosnniinn :11lim()niniifxn 其中，所以根据定积分的定义，有( )1 cos ,(1,2, )if xxxinn12lim1 cos1 cos.1 cos nn nnnn 00122 21 coscos2xxdxdxBornBorn toto winwin(5)【答案】4【详解】记，则022 222 222A (对应元素相减)02222222222222222EA 两边取行列式，EA22222222 22230222行行222011222把第行的公因子提出来00 122011 222 行行1 1111( 1)22 按第行展开(其中指数中的 1 和 1 分别是所在的行数和列数)1 1( 1)2(22)2(4)令，解得，故是矩阵的非零特征值(另一个特0EA1230,44征值是(二重)0二、选择题二、选择题(1)【答案】(D)【详解】在可导条件下，当时称为 0()x xdyyxoxdx 00x xdy dx 0x xdyxdx的线性主部y而，以代入得，由题设2()2dyxfxx xdx 1,0.1xx (1) 0.2dyxfdx 它等于 01，于是，应选(D)(1)0.5f (2)【答案】(D)【详解】对与(D)，令，则，令 0( ) ( )()xF xt f tft dt0() ( )()xFxt f tft dt，则，所以tu dtdu 00() ( )()() ()( )xxFxt f tft dtufuf uduBornBorn toto winwin0 ()( )( ),xu fuf u duF x所以(D)为偶函数同理证得(A)、(C)为奇函数，而(B)不确定，如故应选( )1f tt (D)(3)【答案】(C)【详解】由，且，可知3xypyqye(0)(0)0yy(0)1y方法方法 1：因为当时，所以20x 22ln(1)xx:，20ln(1)lim( )xx y x2000222limlimlim2( )( )( )1xxxxx y xy xy x=故选(C)方法方法 2：由于 将函数按麦克劳林公式展开(0)(0)0,(0)1yyy( )y x，代入，有2 2( )00()2xy xo x 2ln(1) ( )x y x222000222ln(1)1limlimli