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2000 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学一试题理工数学一试题 一、 填空题一、 填空题 (1) 1 2 0 2xx dx= . (2)曲面 222 2321xyz+=在点()1, 2,2的法线方程为 . (3)微分方程 30xyy+=的通解为 . (4)已知方程组 1 2 3 1211 2323 120 x ax ax += 无解,则a = . (5)设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为 1 , 9 A发生B不发生的概率与B发生A不 发生的概率相等,则P A= . 二、选择题二、选择题 (1) 设( )( ),f xg x是恒大于零得可导函数, 且( ) ( )( )( ) 0fx g xf x gx (B)( ) ( )( ) ( )f x g af a g x (C)( ) ( )( ) ( )f x g xf b g b (D)( ) ( )( ) ( )f x g xf a g a 【 】 (2)设() 2222 1 :0 ,S xyzazS+=为S在第一卦限中的部分,则有 (A) 1 4 SS xdSxdS= (B) 1 4 SS ydSxdS= (C) 1 4 SS zdSxdS= (D) 1 4 SS xyzdSxyzdS= 【 】 (3)设级数 1 n n u = 收敛,则必收敛的级数为 (A)() 1 1. n n n u n = (B) 2 1 n n u = (C)() 212 1 . nn n uu = (D) () 1 1 . nn n uu + = + 【 】 (4)设n维列向量组() 1, , m mn, 取逆时针方向. 六、六、设对于半空间0x 内任意的光滑有向封闭曲面,S都有 ( )( ) 2 0, x S xf x dydzxyf x dzdxe zdxdy= ? 其中函数( )f x在()0,+内具有连续的一阶导数,且( ) 0 lim1, x f x + =求( )f x. 七、七、求幂级数 ()1 1 32 n n n n x n =+ 的收敛区域,并讨论该区间断电处的收敛性. 八、八、 设有一半径为R的球体, 0 P是此球的表面上的一个定点, 球体上任一点的密度与该点到 0 P 距离的平方成正比(比例常数0k ) ,求球体的重心位置. 九、九、设函数( )f x在0,上连续,且( )( ) 00 0,cos0,f x dxf xxdx = 试证:在()0,内 至少存在两个不同的点 12 , ,使( )() 12 0ff=. 十、 (本题满分十、 (本题满分 6 分)分) 设矩阵A的伴随矩阵 * 1000 0100 , 1010 0308 A = 且 11 3 ,ABABAE =+其中E为 4 阶单位矩阵, 求矩阵.B 十一、十一、某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工得人数统计,然后将 1 6 熟练工支援 其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐,新、老非熟练工经过培训及之间实践至年 终考核有 2 5 成为熟练工.设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 n x和 n y, 记为向量 n n x y . (1) 求 1 1 n n x y + + 与 n n x y 的关系式并写成矩阵形式: 11 11 ; nn nn xx A yy + + = (2) 验证 12 41 , 11 = 是A的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值; (3) 当 1 1 1 2 1 2 x y = 时,求 1 1 n n x y + + . 十二、十二、某流水生产线上每一个产品不合格的概率为()01pp = 其中0为未知参数,又设 12 , n x xx?是X的一组样本观测值,求参数的最大似然估计 值. 2000 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学一试题详解及评析理工数学一试题详解及评析 一、 填空题一、 填空题 (1) 1 2 0 2xx dx= . 【答】 . 4 【详解】 () 11 2 22 2 000 2111sincos 4 xx dxxdxxttdt = = (2)曲面 222 2321xyz+=在点()1, 2,2的法线方程为 . 【答】 122 146 xyz+ = . 【详解】 令 () 222 , ,2321F x y zxyz=+, 则有 () () () () () () 1, 2,2 1, 2,2 1, 2,2 1, 2,222, 1, 2,248, 1, 2,2612. | | | x y z Fx Fy Fz = = = 因此所求法线方程为: 122 146 xyz+ = (3)微分方程 30xyy+=的通解为 . 【答】 2 1 2 C yC x =+. 【详解】 令 py=,则原方程化为 3 0,pp x += 其通解为 3. pCx= 因此, 32 2 112 2 , 22 CCC yCx dxCxCC x =+= (4)已知方程组 1 2 3 1211 2323 120 x ax ax += 无解,则a = . 【答】 -1. 【详解】 化增广矩阵为阶梯形,有 ()() 121112111211 2323011011 120023100313 aaa aaaaa + + ? ? ? 可见。当1a = 时,系数矩阵的秩为 2,而增广矩阵的秩为 3,因此方程组无解. 注意,当3a =时,系数矩阵和增光矩阵的秩均为 2,方程组有无穷多解. (5)设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为 1 , 9 A发生B不发生的概率与B发生A不 发生的概率相等,则( )P A= . 【答】 2 . 3 【详解】 由题设。有 ()()() 1 , 9 P ABP ABP AB= 因为A和B相互独立,所以A与B,A与B也相互独立。于是由 ()() P ABP AB=, 有 ( ) ( )( )( ) P A P BP A P B= 即有 ( )( )( )( )11,P AP BP AP B= 可得 ( )P A=( )P B 从而 ()( ) ( )( ) 21 1, 9 P ABP A P BP A= 解得 ( )P A= 2 . 3 二、选择题二、选择题 (1) 设( )( ),f xg x是恒大于零得可导函数, 且( ) ( )( )( ) 0fx g xf x gx (B)( ) ( )( ) ( )f x g af a g x (C)( ) ( )( ) ( )f x g xf b g b (D)( ) ( )( ) ( )f x g xf a g a 【 】 【答】 应选(A). 【详解】 由题设知 ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) 2 0, f xfx g xf x gx g xgx = 即 ( ) ( )( ) ( )f x g bf b g x, 可见(A)为正确选项. (2)设() 2222 1 :0 ,S xyzazS+=为S在第一卦限中的部分,则有 (A) 1 4 SS xdSxdS= (B) 1 4 SS ydSxdS= (C) 1 4 SS zdSxdS= (D) 1 4 SS xyzdSxyzdS= 【 】 【答】 应选(C). 【详解】 显然, 待选答案的四个右端均大于零, 而S关于平面0x =和0y=对称, 因此 (A) 、 (B) 、 (D)三项中的左端项均能为零,可见(C)一定为正确选项.事实上,有 11 44 SSS zdSzdSxdS= (3)设级数 1 n n u = 收敛,则必收敛的级数为 (A)() 1 1. n n n u n = (B) 2 1 n n u = (C)() 212 1 . nn n uu = (D) () 1 1 . nn n uu + = + 【 】 【答】 应选(D). 【详解】 利用级数的性质即知, (D)为正确选项,事实上, (A) 、 (B) 、 (C)三个选项可举 反例说明是不正确的.例如: () 2 1 1 ln n n n = 收敛,但() 22 1 1 ln n n nn u nnn = = 发散,可排除(A) ; () 1 1 1 n nn = 收敛,但 2 11 1 n nn u n = = 发散,可排除(B) ; () 1 1 1 1 n n n = 收敛,但() 212 111 111 212 nn nnn uu nnn = =+ 发散,可排除(c). (4)设n维列向量组() 1, , m mn, 取逆时针方向. 【详解】 2222 , 44 yx PQ xyxy = + 则有 () ()() 22 2 22 4 ,0,0 4 PyxQ x y xy xy = + 作足够小的椭圆: cos :2 sin xt C yt = = (0,2,tC取逆时针方向) ,于是由格林公式有 22 0. 4 L C xdyydx xy + = + ? 从而有 2 2 22222 0 1 2 44 LC xdyydxxdyydx IIdt xyxy = + ? 六、六、设对于半空间0x 内任意的光滑有向封闭曲面,S都有 ( )( ) 2 0, x S xf x dydzxyf x dzdxe zdxdy= ? 其中函数( )f x在()0,+内具有连续的一阶导数,且( ) 0 lim1, x f x + =求( )f x. 【详解】 由题设和高斯公式得 ( )( ) ( )( )( ) 2 2 0 , x S x xf x dydzxyf x dzdxe zdxdy xfxf xxf xedV = = + ? 其中为S围成的有界闭区域,号对应曲面取外侧或内侧,由S的任意性,知 ( )( )( )() 2 0,0 x xfxf xxf xex+= 即 ( )( )() 2 11 1,0 x fxf xex xx += 这是一阶线性非齐次微分方程,其通解为 ( )() x x e f xeC x =+ 由于( ) 2 00 limlim1, xx xx eCe f x x + + = 故必有 () 2 0 lim0, xx
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