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全等三角形全等三角形 轴对称轴对称 勾股定理勾股定理 中难度中难度 题型荟萃(强化训练)题型荟萃(强化训练)3. 如图,在如图,在 中,中, ,AB= 6 米米 ,BC= 8 米米 ,动点,动点 P 以以 2 米米 /秒的速度秒的速度 从从 A 点出发,沿点出发,沿 AC 向点向点 C 移动,同时,动点移动,同时,动点 Q 以以 1 米米 /秒的速度从秒的速度从 C 点出发,沿点出发,沿 CB 向向 点点 B 移动当其中有一点到达终点时,它们都停止移动设移动的时间为移动当其中有一点到达终点时,它们都停止移动设移动的时间为 秒秒 (1)当当 t=2.5 秒时,求秒时,求 的面积的面积; 求求 的面积的面积 (平方米)关于时间(平方米)关于时间 t(秒)的函数解析式(秒)的函数解析式; (2)在)在 P,Q 移动的过程中,当移动的过程中,当 为等腰三角形时,写出为等腰三角形时,写出 t 的值的值; 1. 将两个等边将两个等边 ABC 和和 DEF(DEAB)如图所示摆放,点)如图所示摆放,点 D 是是 BC 上一点(除上一点(除 B、C 外)外) ,把,把 DEF 绕顶点绕顶点 D 顺时针方向旋转一定的角度,使得边顺时针方向旋转一定的角度,使得边 DE、DF 与与 ABC 的边(边的边(边 BC 除外)分别相交于点除外)分别相交于点 M、N. (1) BMD 和和 CDN 相等吗?相等吗? (2)画出使)画出使 BMD 和和 CDN 相等得所有情况的图形相等得所有情况的图形; (3)在()在(2)题中任选一种图形说明)题中任选一种图形说明 BMD 和和 CDN 相等的理由相等的理由. 8. 如图,如图, ABC 的边的边 BC 在直线在直线 上,上,AC BC,且,且 AC=BC, DEF 的边的边 FE 也在直线也在直线 上,边上,边 DF 与边与边 AC 重合,且重合,且 DF=EF (1)在图()在图(1)中,请你通过观察、思考,猜想并写出)中,请你通过观察、思考,猜想并写出 AB 与与 AE 所满足的数量关系和位所满足的数量关系和位 置关系;(不要求证明)置关系;(不要求证明) (2)将)将 DEF 沿直线沿直线 向左平移到图(向左平移到图(2)的位置时,)的位置时,DE 交交 AC 于点于点 G,连结,连结 AE,BG猜想猜想 BCG 与与 ACE 能否通过旋转重合?请证明你的猜想能否通过旋转重合?请证明你的猜想10. 已知:在已知:在 ABC 中,中,ACBC, ACB900,点,点 D 是是 AB 的中点,点的中点,点 E 是是 AB 边上一点边上一点. (1)直线)直线 BF 垂直于垂直于 CE 于点于点 F,交,交 CD 于点于点 G(如图(如图) ,求证:,求证:AECG; (2)直线)直线 AH 垂直于垂直于 CE 于,垂足为于,垂足为 H,交,交 CD 的延长线于点的延长线于点 M(如图(如图) ,找出图中与,找出图中与 BE 相等的线段,并说明相等的线段,并说明.13. 将两块大小相同的含将两块大小相同的含 30角的直角三角板(角的直角三角板( BAC BAC30)按图)按图方式放置,方式放置, 固定三角板固定三角板 ABC,然后将三角板,然后将三角板 ABC 绕直角顶点绕直角顶点 C 顺时针方向旋转(旋转角小于顺时针方向旋转(旋转角小于 90) 至图至图所示的位置,所示的位置,AB 与与 AC 交于点交于点 E, AC 与与 AB交于点交于点 F,AB 与与 AB相交于点相交于点 O (1)求证:)求证: BCE BCF; (2)当旋转角等于)当旋转角等于 30时,时,AB 与与 AB垂直吗?请说明理由垂直吗?请说明理由19. 如图,在如图,在 ABC 中,中,AB=AC,D 为为 BC 边上一点,边上一点, B=30, DAB=45. (1)求)求 DAC 的度数的度数;(2)求证:)求证:DC=AB20. 如图,矩形如图,矩形 ABCD 中,点中,点 P 是线段是线段 AD 上一动点,上一动点,O 为为 BD 的中点,的中点, PO 的延长线交的延长线交 BC 于于 Q. (1)求证:)求证: OP=OQ; (2)若)若 AD=8 厘米,厘米,AB=6 厘米,厘米,P 从点从点 A 出发,以出发,以 1 厘米厘米/秒的速度向秒的速度向 D 运动(不与运动(不与 D 重合)重合).设点设点 P 运动时间为运动时间为 t 秒,请用秒,请用 t 表示表示 PD 的长;并求的长;并求 t 为何值时,四边形为何值时,四边形 PBQD 是是 菱形菱形22. (1)如图)如图,在正方形,在正方形 ABCD 中,中, AEF 的顶点的顶点 E,F 分别在分别在 BC,CD 边上,高边上,高 AG 与正方形的边长相等,求与正方形的边长相等,求 的度数的度数 (2)如图)如图,在,在 Rt ABD 中,中, , ,点,点 M,N 是是 BD 边上的边上的 任意两点,且任意两点,且 ,将,将 ABM 绕点绕点 A 逆时针旋转逆时针旋转 至至 ADH 位置,连接位置,连接 ,试判断,试判断 MN,ND,DH 之间的数量关系,并说明理由之间的数量关系,并说明理由 (3)在图)在图中,连接中,连接 BD 分别交分别交 AE,AF 于点于点 M,N,若,若 , , ,求,求 AG,MN 的长的长25. 在在ABCD中,中, BAD的平分线交直线的平分线交直线BC于点于点E,交直线,交直线DC于点于点F (1)在图)在图 1 中证明中证明 ; (2)若)若 ,G是是EF的中点(如图的中点(如图 2) ,直接写出,直接写出 BDG的度数的度数; (3)若)若 ,FG CE, ,分别连结,分别连结DB、DG(如图(如图 3) ,求,求 BDG的度数的度数26. 如图,在如图,在 ABC, ACB=90中,中,D是是BC的中点,的中点,DE BC,CE AD,若,若 AC=2,CE=4,求四边形,求四边形ACEB的周长的周长28. 问题:已知问题:已知 ABC 中,中, BAC=2 ACB,点,点 D 是是 ABC 内一点,且内一点,且 AD=CD,BD=BA.探探 究究 DBC 与与 ABC 度数的比值度数的比值.请你完成下列探究过程:请你完成下列探究过程:先将图形特殊化,得出猜想,再对一般情况进行分析并加以证明先将图形特殊化,得出猜想,再对一般情况进行分析并加以证明.(1)当)当 BAC=90时,依问题中的条件补全下图时,依问题中的条件补全下图.观察图形,观察图形,AB 与与 AC 的数量关系为的数量关系为_;当推出当推出 DAC=15时,可进一步推出时,可进一步推出 DBC 的度数为的度数为_;可得到可得到 DBC 与与 ABC 度数的比值为度数的比值为_.(2)当)当 BAC90时,请你画出图形,研究时,请你画出图形,研究 DBC 与与 ABC 度数的比值是否与(度数的比值是否与(1)中的结)中的结 论相同,写出你的猜想并加以证明论相同,写出你的猜想并加以证明.全部试题答案:全部试题答案: 1. 解:(解:(1)可能相等,也可能不相等)可能相等,也可能不相等. (2)有四种情况,如下面四个图)有四种情况,如下面四个图 (3)选)选证明:证明: ABC 和和 DEF 均为等边三角形,均为等边三角形, B= EDF=60, ADB+ BMD= ADB+ CDN=120, BMD= CDN 3. 解:在解:在 Rt ABC 中,中,AB= 6 米米 ,BC= 8 米米 AC= 10 米米 由题意得:由题意得:AP=2t,CQ=t 则则 PC=10-2t (1)过点过点 P 作作 PD BC 于于 D, t=2.5 秒时,秒时,AP=22.5= 5 米米 ,QC= 2.5 米米 PD= AB= 3 米米 , S= = 3.75 平方米平方米 ; 过点过点 Q 作作 QE PC 于点于点 E, 易知易知 Rt Rt , S= = (10-2t) = ; (2)当)当 秒(此时秒(此时 PC=QC), 秒(此是秒(此是 PQ=QC),或或 秒秒(此时(此时 PQ=PC)时,)时, 为等腰三角形为等腰三角形; 8. 解解:(1)AB=AE, AB AE (2)将将 BCG 绕点绕点 C 顺时针旋转顺时针旋转 90后能与后能与 ACE 重合(或将重合(或将 ACE 绕点绕点 C 逆时针旋转逆时针旋转 90后能与后能与 BCG 重合)重合) ,理由如下:,理由如下: AC BC,DF EF,B、F、C、E 共线,共线,ACB= ACE= DFE=90 又又 AC=BC,DF=EF,DFE= D=45, 在在 CEG 中,中,ACE=90,CGE= DEF=90, CG=CE, 在在 BCG 和和 ACE 中中 BCGACE(SAS) 将将 BCG 绕点绕点 C 顺时针旋转顺时针旋转 90后能与后能与 ACE 重合(或将重合(或将 ACE 绕点绕点 C 逆时逆时 针旋转针旋转 90后能与后能与 BCG 重合)重合). 10. 解:(解:(1)证明:)证明: 点点 D 是是 AB 中点,中点,ACBC, ACB900 CD AB, ACD BCD450 CAD CBD450 CAE BCG 又又 BF CE, CBG BCG900 又又 ACE BCF900 ACE CBG AECCGB AECG (2)BECM 证明:证明: CH HM,CD ED CMA MCH900 BEC MCH900 CMA BEC 又,又,ACBC, ACM CBE450 BCECAM BECM 13. 解:(解:(1)因)因 B B/,BCB/C, BCE90- A/CA= B/CF, 所以所以 BCEBCF; (2)AB 与与 AB垂直,理由如下:垂直,理由如下: 旋转角等于旋转角等于 30,即,即 ECF30,所以,所以 FCB/60, 又又 B B/60,根据四边形的内角和可知,根据四边形的内角和可知19. 解:(解:(1) AB=AC B= C=30 C BAC B=180 BAC=1803030=120 DAB=45 DAC= BAC D
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