数学学习资料 数学学习资料 1.3.11.3.1 函数的单调性（第一课时）函数的单调性（第一课时）教学设计教学设计 新疆乌鲁木齐八一中学 韩昕 课型：新授课课型：新授课 一、教学内容解析及学情分析一、教学内容解析及学情分析 首先，从单调性知识本身来讲.学生对于函数单调性的学习共分为三个阶段： 第一阶段是学生在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数，对函数的增 减性有一个初步的感性认识，知图象的变化趋势；第二阶段是在高一学习函数 单调性的严格定义，从数和形两个方面理解单调性的概念；第三阶段则是在高 二利用导数为工具研究函数的单调性，并知其变化快慢.高一单调性的学习，既 是初中学习的延续和深化，又为高二的学习奠定基础 其次，从函数角度来讲. 函数的单调性是学生学习的第一个函数性质，也 是第一个用数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与函数的奇偶性、周期性 一样，都是研究自变量变化时，函数值的变化规律；学生对于这些概念的认识， 都经历了直观感受、文字描述和严格定义三个阶段，即都从观察图象，用自然 语言描述函数图象特征，以函数解析式为依据经历用符号语言刻画图形语言， 用定量分析解释定性结果的过程.因此，函数单调性的学习为进一步学习函数的 其它性质提供了方法依据. 最后，从学科角度来讲.函数的单调性是学习不等式、极限、导数等其它数 学知识的重要基础，是解决数学问题的常用工具，也是培养学生逻辑推理能力 和渗透数形结合思想的重要素材，同时是一节具有奠基意义的数学方法课. 二、教学目标二、教学目标 按照教学大纲的要求，根据教材和学情，确定如下教学目标： 1 1知识与技能目标：知识与技能目标： 使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念; 掌握利用函数图象和单调性定义判断函数单调性的方法； 掌握利用函数单调性的定义证明函数在某个区间上的单调性. 隐性目标：让学生体验数学知识的发生发展过程，在体验函数单调性概念 的建构过程中掌握数学的认知策略. 2.2.过程与方法目标：过程与方法目标： 通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法； 通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力； 在体验函数单调性概念符号化的建构过程中,让学生体会数学知识的发生 发展过程：由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的本质，培养学生观 察、归纳、抽象的概括能力和语言表达能力； 数学学习资料 数学学习资料 通过课堂练习单及时巩固学习成果，完成学习目标. 3 3情感、态度与价值观目标：情感、态度与价值观目标： 充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、 探究、归纳、交流、反思，促进学生形成研究氛围和合作意识. 重视知识的形成过程教学，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良 好思维习惯让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰 辛过程与收获的乐趣. 三、教学重、难点三、教学重、难点 对于函数的单调性,学生的认知困难主要在两个方面: 首先，用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降,把对单调性直观感 性的认识上升到理性的高度, 这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一 的学生来说比较困难.如何让学生理解这种符号化的、抽象的数学语言，参与函 数单调性概念的形成过程是本节课的第一个难点. 其次，由于学生第一次接触到代数证明，如何运用函数单调性的定义严格 证明函数的单调性并完成规范的书面表达则是本节课的另一难点. 根据以上的分析和教学大纲对单调性的教学要求，本节课的教学重难点是： 教学重点教学重点：增（减）函数概念的形成； 教学难点：教学难点：形成增（减）函数概念的过程中，如何从图象升降的直观认 识 过渡到函数增减的数学符号语言表达； 用定义证明函数的单调性. 四、教法、学法四、教法、学法 教法：本节课是函数单调性的起始课，根据教学内容、教学目标和学生的 认知水平，主要采取教师启发讲解和学生探究发现的教学方法.教学过程中，根 据教材提供的线索，安排适当的教学情境，让学生展示相应的数学思维过程， 使学生有机会经历数学概念抽象的各个阶段，引导学生独立自主地开展思维活 动，深入探究，从而创造性地解决问题，最终形成概念，获得方法，培养能力. 同时使用多媒体辅助教学以及几何画板的使用，增强动感和直观性，充分发挥 其快捷、生动、形象的特点，有助于学生对问题的理解和认识，提高教学效果 和教学质量； 学法：合作实践、学生展示、小组讨论、发现总结等方法. 五、教具准备五、教具准备 实物展示台、多媒体. 六、教学过程：六、教学过程： （一）问题情境：（一）问题情境： 在 2016 年 8 月 10 号的里约奥运会上，由陈若琳和刘蕙瑕组成的双人组合 获得 10 米台跳水冠军，展示跳水动图，问题 1：跳水运动员的运动轨迹是什么？ 问题 2：从左向右看，图象的变化趋势是什么？ 函数图象的上升与下降的趋势就反映了函数的单调性. 数学学习资料 数学学习资料 设计意图：设计意图：把我国运动员获得奥运冠军这件时事作为情境引入，增强学生 的民族自豪感，另外根据运动员的运动轨迹曲线很自然地引入函数的单调性这 节课，让学生感受数学来自生活. （二）建构定义（二）建构定义: : 1. 概念探究阶段 第一次认识：第一次认识：（图形语言）观察函数的图象，思考 1:从左向右看函 2 xy 数在区间上的图象有怎样的变化趋势？（上升？下降？）思考 2:怎样描，0 述图象的上升呢？ 第二次认识：第二次认识：（文字语言）教师几何画板展示，点 A 在上向上运动，0 时，A 点坐标的变化.让学生观察到，函数在区间上，随着自变量 2 xy ，0 的增大，函数值也增大.xy 这是我们从形的角度观察到的，那么怎样用符号和式子描述函数值随着y 自变量的增大而增大呢？x 第三次认识：第三次认识：（符号语言）首先：将两个“增大”符号化，比较才能出大 小，在区间上的，即当时，.在区间 D 上的，0 1 x 2 x 12 xx )()( 21 xfxf ，即当时，.此时一定能保证在区间 D 上的图象是 1 x 2 x 12 xx )()( 21 xfxf 上升的吗？图象可能会出现哪些情况？需要添加什么条件使得在区间 D 上的图 象是上升的？ 所以，进一步完善表达： 对于区间上的任意的两个自变量的值，当时，都有，0 21,x x 12 xx ，那么就说函数在区间上是增函数.)()( 21 xfxf 2 )(xxf，0 设计意图：设计意图：通过由图象直观感知 自然语言描述 数学符号语言描 述，即从直观到抽象、特殊到一般、感性到理性的认识过程，学生能够更好的 感受数学知识的生成过程通过一系列的问题逐步引导学生发现，的任意 1 x 2 x 性，让学生体会数学的严谨性. 2. 本着从特殊到一般的原则，对于一般函数，我们来定义增函数： 设函数的定义域为 I，,任意，当时，都有)(xfID Dxx 21,21 xx ，那么就说函数在区间D上是增函数.)()( 21 xfxf)(xf 3.对比增函数的定义，由学生归纳出减函数的定义. 数学学习资料 数学学习资料 设函数的定义域为 I，,任意，当时，都有)(xfID Dxx 21,21 xx ，那么就说函数在区间D上是减函数.)()( 21 xfxf)(xf 即减函数图象在区间 D 内呈下降趋势，当 x 的值增大时，函数值 y 减小. 设计意图：设计意图：得出减函数定义，培养学生的类比能力 4.对定义的理解： （1）的任意性；教师几何画板展示，帮助学生从运动变化的观点理 21,x x 解的任意性. 21,x x （2）对的理解：此时与不等，说明变量不同，函数值 21 xx )( 1 xf)( 2 xf 不同，所以我们不在一点出讨论函数的单调性，当端点在定义域的范围内，区 间可开可闭，当端点不在定义域的范围内，区间是开区间. （3）分析定义中自变量与因变量的变化关系，当时， 21 xx 说明了什么？ 0 2121 xfxfxx 设计意图：设计意图：定义是数学的核心，通过教师带领学生理解定义，可以提高学 生的认识和理解. 5.函数的单调性定义 如果函数在区间 D 上是增函数或者减函数，那么就说函数 )(xfy 在区间 D 上具有单调性，函数的单调性也叫函数的增减性；增函数与 )(xfy 减函数也分别叫做单调递增函数，单调递减函数；区间 D 叫做函数的 )(xfy 单调区间. 所以，函数的单调性是定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质. 探究：探究：函数在定义域上的单调性是怎样的？ x y 1 设计意图：设计意图：再次让学生体会和理解函数单调性的定义，多个单调增（减）区 间用“， ” “和”连接，不用“”. 类型一：根据函数图象写出函数的单调区间类型一：根据函数图象写出函数的单调区间 例例 1.1.下图是定义在5，5上的函数的图象，根据图象说出函数)(xfy 的单调区间，以及在每一单调区间上，是增函数还是减函数。)(xfy )(xfy 数学学习资料 数学学习资料 解：的单调区间有5，2） ，2，1） ，1，3） ，3，5.)(xfy 其中在5，2）,1，3）上是减函数；)(xfy 在2，1） ， 3，5）上是增函数. 变式变式 1 1： 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 10864224681012 A 变式变式 2 2： 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 10864224681012 A 变式变式 3 3： 数学学习资料 数学学习资料 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 10864224681012 A 设计意图：设计意图：通过例 1 和变式，学生知道可以借助函数图象找出函数的单调区间， 并加深对函数单调性概念的理解 类型二：根据函数的单调性定义证明函数的单调性类型二：根据函数的单调性定义证明函数的单调性 例例 2.2.用函数的单调性定义证明：函数在区间上是减函)0(k x k y，0 数. 证明：设是上的任意两个实数，且， 21,x x), 0( 21 xx 则 21 12 21 21 )( )()( xx xxk x k x k xfxf ，得，由 21 0xx , 0 21 xx0 12 xx0k 于是0,即)()( 21 xfxf)()( 21 xfxf 所以，函数在上是减函数。)0(k x k y，0 说明：说明：这两道例题介绍了 （1）判断函数单调性的两种方法：根据图像观察,根据定义证明; （2）证明函数单调性的步骤： 取值，设任意属于给定区间，并规定大小； 21 xx 、 作差变形，变形的常用方法:因式分解、配方、有理化 2 )()( 21 xfxf 等； 定号确定的正负号； 3 )()( 21 xfxf 数学学习资料 数学学习资料 下结论:由定义得出函数的单调性 即时练习：即时练习：利用定义证明函数在上是减函数. x xy 1 10， (4)(4)、课堂练习： 1.讨论以下函数的单调性： （1） bkxy （2） )0( 2 acbxaxy )0(3k x k y）（ 设计意图：设计意图：让学生体会到有的函数可能在整个定义域上单调，有的函数在定义 域的某个区间上单调，函数的单调性是函数的局部性质. 3. 利用定义证明函数在上是增函数.xy ，0 （五）、小结（五）、小结 1.判定函数单调性的方法：图象法，定义法； 2.定义法步骤：取值，作差变形，定号，下结论； 3.增（减）函数概念的形成，经历了哪些过程？ 4.凭借直观的图象，我们能判断函数的单调性，为什么还要用数学符号语 言定义增（减）函数呢？ 在数学中，描述事物运动变化规律的数学模