第3课时 用向量方法求空间中的角,1.理解直线与平面所成角的概念. 2.能用向量方法解决线线、线面、面面夹角的问题. 3.了解向量方法在研究几何问题中的作用.,答案:D,【做一做2】 若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150,则l1与l2所成的角等于( ) A.30 B.150 C.30或150 D.以上均错 解析:由异面直线夹角定义知,异面直线夹角范围是(0,90. 答案:A,题型一,题型二,题型三,题型四,求异面直线所成的角 【例1】 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知DA=DC=4,DD1=3,求异面直线A1B与B1C所成角的余弦值.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思建立空间直角坐标系,要充分利用题目中的垂直关系.利用向量法求两异面直线所成角计算思路简便,但是要注意角的范围.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,求直线与平面所成的角 【例2】 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,在侧棱CC1上求一点P,使得直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为3 . 解:如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练2】 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PD平面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,求EB与平面ABCD夹角的余弦值.,题型一,题型二,题型三,题型四,求二面角 【例3】 如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形,PA平面ABCD,ABC=60,E,F分别是BC,PC的中点.(1)求证:AEPD; (2)若PA=AB=2,求二面角E-AF-C的余弦值.,题型一,题型二,题型三,题型四,(1)证明:由四边形ABCD为菱形,ABC=60,可得ABC为正三角形. 因为E为BC的中点,所以AEBC. 又BCAD,因此AEAD. 因为PA平面ABCD,AE平面ABCD, 所以PAAE. 而PA平面PAD,AD平面PAD,且PAAD=A,所以AE平面PAD. 又PD平面PAD,所以AEPD.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思用几何法求二面角,往往需要作出其平面角,这是几何中的难点之一;而用向量法求解二面角无须作出二面角的平面角,只需求出平面的法向量,经过简单运算即可.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练3】 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC平面AA1C1C,AB=3,BC=5.(1)求证:AA1平面ABC; (2)求二面角A1-BC1-B1的余弦值;,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,易错辨析 易错点 误求了线面角的余角致错 【例4】 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACB=90,AC=2BC, A1BB1C,求B1C与侧面A1ABB1所成角的余弦值.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,