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1 因式分解、分式和根式因式分解、分式和根式 【知识梳理知识梳理】 一、因式分解:一、因式分解: 1、常用的公式: 平方差公式:bababa 22 ; 完全平方公式: 2 22 2bababa; 2 222 222cbacabcabcba; 2 222 222cbacabcabcba; 2 222 222cbacabcabcba; 立方和(差)公式: 2233 babababa; 2233 babababa; 2、许多多项式分解因式后的结果在解题中经常用到,我们应熟悉以下的常用结果: (1)111baabab; (2)111babaab; (3)22224 224 aaaaa; (4)12212214 224 aaaaa; (5) 2 222 222cbaacbcabcba; (6)acbcabcbacbaabccba 222333 3。 二、分式:二、分式: 1、分式的意义 形如 B A (BA、为整式) ,其中B中含有字母的式子叫分式。 当分子为零且分母不为零时,分式的值为零,而当分母为零时,分式没有意义。 2、分式的性质 (1)分式的基本性质: 2 MB MA MB MA B A (其中M是不为零的整式) 。 (2)分式的符号法则: 分子、分母与分式本身的符号,改变其中的任何两个,分式的值不变。 (3)倒数的性质: 01 1 01 1 a a aa a a,;若1 1 a a,则1 1 n n a a(0a,n是整数) ; 02 1 a a a。 3、分式的运算 分式的运算法则有: bd bcad d c b a c ba c b c a ,; n n n b a b a bc ad d c b a bd ac d c b a ,(n是正整数) 。 4、分式的变形 分式的基本性质是分式变形的理论根据之一,分式变形的常用方法有:设参法(主要 用于连比式或连等式) ,拆项法(即分离变形) ,因式分解法,分组通分法和换元法等。 三、二次根式:三、二次根式: 1、当0a时,称a为二次根式,显然0a。 2、二次根式具有如下性质: (1) 0 2 aaa; (2) 时;,当 时,当 0 0 2 aa aa aa (3)00babaab,; (4)00ba b a b a ,。 3、二次根式的运算法则如下: (1) 0ccbacbca; (2) 0aaa n n 。 4、设Qmdcba,且m不是完全平方数,则当且仅当dbca ,时, mdcmba。 【例题精讲例题精讲】 3 【例例 1】1】分解因式:6136 22 yxyxyx 【巩固巩固】分解因式: 1、252 22 yxyxyx; 2、49253 22 yxyxyx; 【例例 2】2】已知cba、是一个三角形的三边,则 222222444 222accbbacba的值 是( ) A.恒正 B.恒负 C.可正可负 D.非负 3、k为何值时,多项式2532 22 yxkyxyx能分解成两个一次因式的积? 【例例 3】3】已知ba、是实数,且 111 22 bbaa,问ba、之间有怎样的关系? 请推导。 4 【专题训练专题训练】 1、已知131baab,求ab的值为_; 2、多项式65 22 yxbyaxyx的一个因式是2 yx,试确定ba的值为 _; 3、设cab23,求accba449 222 的值。 4、若0abc,且设 b ac a cb c ba ,则 abc accbba _ 5、已知 yx xy 1, zy yz 2, xz zx 3,则x_; 5 6、已知1991 2 xa,1992 2 xb,1993 2 xc,且24abc,则 cbaab c ca b bc a111 _ 7、当x变化时,分式 1 2 1 563 2 2 xx xx 的最小值为_ 8、设1 1 2 mxx x ,则 1 336 3 xmx x _; 9、已知实数a满足aaa19931992,则 2 1992a_; 10、化简 532 62 _; 6 11、已知a a x 1 ,则 2 4xx_ 12、设43239的整数部分为a,小数部分为b,则 baba4 1111 _; 13、设等式yaaxayaaxa在实数范围内成立,其中 yxa,两两不同,则 22 22 3 yxyx yxyx _; 14、使等式99yx成立的整数对yx,的个数为_; 15、设正整数nma,满足nma24 2 ,则这样的nma,的取值有 _组; 16、求和: n n xxxx S 24 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 7 17、已知0cba,化简 222222222 111 cbabacacb 。 18、若0abccba,计算 ab ba ac ca bc cb 222222 111111 的值。 19、计算: 49474749 1 7557 1 5335 1 33 1 20、设 3 324M,它的小数部分为P,求PM1的值。
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