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1 1 1如图,二次函数cxy 2 2 1 的图象经过点 D 2 9 , 3,与 x 轴交于 A、B 两点 求c的值; 如图,设点 C 为该二次函数的图象在 x 轴上方的一点,直线 AC 将四边形 ABCD 的 面积二等分,试证明线段 BD 被直线 AC 平分,并求此时直线 AC 的函数解析式; 设点 P、Q 为该二次函数的图象在 x 轴上方的两个动点,试猜想:是否存在这样的点 P、Q,使AQPABP?如果存在,请举例验证你的猜想;如果不存在,请说明理 由 (图供选用) 解: 抛物线经过点 D( 2 9 , 3) 2 9 )3( 2 1 2 c c=6. 过点 D、B 点分别作 AC 的垂线,垂足分别为 E、F,设 AC 与 BD 交点为 M, AC 将四边形 ABCD 的面积二等分,即:SABC=SADC DE=BF 又DME=BMF, DEM=BFE DEMBFM DM=BM 即 AC 平分 BD c=6. 抛物线为6 2 1 2 xy A(0 , 32) 、B(0 , 32) M 是 BD 的中点 M( 4 9 , 2 3 ) 2 设 AC 的解析式为 y=kx+b,经过 A、M 点 4 9 2 3 032 bk bk 解得 5 9 10 33 b k 直线 AC 的解析式为 5 9 10 33 xy. 存在设抛物线顶点为 N(0,6),在 RtAQN 中,易得 AN=4 3,于是以 A 点为圆心, AB=4 3为半径作圆与抛物线在 x 上方一定有交点 Q,连接 AQ,再作QAB 平分线 AP 交抛 物线于 P,连接 BP、PQ,此时由“边角边”易得AQPABP 2 2已知一次函数 y1 2 1 x的图象与 x 轴交于点 A与y轴交于点B;二次函数 cbxxy 2 2 1 图象与一次函数 y1 2 1 x的图象交于B、C两点,与x轴交于D、E两点 且D点的坐标为)0 , 1 ( (1)求二次函数的解析式; (2)求四边形 BDEF 的面积 S; (3)在x轴上是否存在点 P,使得PBC是以P为直角顶点的直角三角形?若存在, 求出所有的点P,若不存在,请说明理由。 【答案】解:(1) 由题意知:当 x=0 时,y=1, B(0,1),当 y=0 时,x=2, A(2,0) 0 2 1 1 cb c 解得 2 3 1 b c ,所以1 2 3 2 1 2 xxy (2)当 y=0 时, 01 2 3 2 1 2 xx,解得 x1=1,x2=2, D(1,0) E(2,0) AO=3,AE=4. S=S 3 CAESABD,S= OBADAE 2 1 3 2 1 ,S=4.5, (3)存在点 P(a,0),当 P 为直角顶点时,如图,过 C 作 CFx 轴于 F, RtBOPRtPFC, 由题意得,AD6,OD1,易知,ADBE, CF OP PF BO 即 34 1a a ,整理得:a24a3=0,解得a=1 或a=3,所以所求P点坐标为(1,0) 或(3,0).综上所述,满足条件的点P有两个. 3 3如图(1) ,抛物线4 2 yxx与 y 轴交于点 A,E(0,b)为 y 轴上一动点,过点 E 的 直线yxb与抛物线交于点 B、C. (1)求点 A 的坐标; (2)当 b=0 时(如图(2) ) ,ABEA与ACEA的面积大小关系如何?当4b 时,上述关系还 成立吗,为什么? (3)是否存在这样的 b,使得BOCA是以 BC 为斜边的直角三角形,若存在,求出 b;若不 存在,说明理由. 解:(1)将 x=0,代入抛物线解析式,得点 A 的坐标为(0,4) (2)当 b0 时,直线为yx,由 2 4 yx yxx 解得 1 1 2 2 x y , 2 2 2 2 x y 所以 B、C 的坐标分别为(2,2) , (2,2) 1 4 24 2 ABE S A , 1 4 24 2 ACE S A 所以 ABEACE SS AA (利用同底等高说明面积相等亦可) 当4b 时,仍有 ABEACE SS AA 成立. 理由如下 由 2 4 yxb yxx ,解得 1 1 4 4 xb ybb , 2 2 4 4 xb ybb 所以 B、C 的坐标分别为(4b,4b+b) , (4b,4b+b) , 作BFy轴,CGy轴,垂足分别为 F、G,则4BFCGb, 而ABEA和ACEA是同底的两个三角形, 所以 ABEACE SS AA . (3)存在这样的 b. 因为90BFCG, BEFCEG, BFECGE 所以BEFCEGAA 所以BECE,即 E 为 BC 的中点 所以当 OE=CE 时,OBCA为直角三角形 因为44GEbbbbGC y x C B A O E y x C B A O E 图 (1) 图 (2) G F y B C Q O R 4 所以 24CEb,而OEb 所以24bb,解得 12 4,2bb , 所以当 b4 或2 时,OBC 为直角三角形. 4 4 如图,在平面直角坐标系中,二次函数cbxxy 2 的图象与 x 轴交于 A、B 两点, A 点在原点的左侧,B 点的坐标为(3,0) ,与 y 轴交于 C(0,-3)点,点 P 是直线 BC 下 方的抛物线上一动点. (1)求这个二次函数的表达式 (2)连结 PO、PC,并把POC 沿 CO 翻折,得到四边形 POP / C, 那么是否存在点 P,使四边形 POP / C 为菱形?若存在,请求出此时点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 (3)当点 P 运动到什么位置时,四边形 ABPC 的面积最大并求出此时 P 点的坐标和四边 形 ABPC 的最大面积. 【答案】解:(1)将 B、C 两点的坐标代入得 3 03 c cb 解得: 3 2 c b 所以二次函数的表达式为:32 2 xxy (2)存在点 P,使四边形 POP / C 为菱形设 P 点坐标为(x,32 2 xx) , PP / 交 CO 于 E 若四边形 POP / C 是菱形,则有 PCPO 连结 PP / 则 PECO 于 E, 5 OE=EC= 2 3 y= 2 3 32 2 xx= 2 3 解得 1 x= 2 102 , 2 x= 2 102 (不合题意,舍去) P 点的坐标为( 2 102 , 2 3 )8 分 (3)过点 P 作y轴的平行线与 BC 交于点 Q,与 OB 交于点 F, 设 P(x,32 2 xx) , 易得,直线 BC 的解析式为3 xy 则 Q 点的坐标为(x,x3). EBQPOEQPOCABSSSS CPQBPQABCABPC 2 1 2 1 2 1 四边形 3)3( 2 1 34 2 1 2 xx = 8 75 2 3 2 3 2 x 6 当 2 3 x时,四边形 ABPC 的面积最大 此时 P 点的坐标为 4 15 , 2 3 ,四边形 ABPC 的 面积 8 75 的最大值为 5 5如图,已知在直角梯形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上,OC 在 x 轴的正半轴上, OAAB2,OC3,过点 B 作 BDBC,交 OA 于点 D,将DBC 绕点 B 按顺时针方向旋 转,角的两边分别交 y 轴的正半轴于 E 和 F (1)求经过 A,B,C 三点的抛物线的解析式; (2)当 BE 经过(1)中抛物线的顶点时,求 CF 的长; (3)连接 EF,设BEF 与BFC 的面积之差为 S,问:当 CF 为何值时 S 最小,并求出这个最小值. 【答案】由题意得:A(0,2) 、B(2,2) 、C(3,0) ,设经过 A,B,C 三点的抛物线 的解析式为 2 yaxbxc,则 2 422 930 c abc abc ,解得: 2 3 4 3 2 a b c ,所以 2 24 2 33 yxx (2)由 2 24 2 33 yxx 2 28 (1) 33 x,所以顶点坐标为 G(1, 8 3 ) ,过 G 作 GHAB,垂足为 H,则 AHBH1,GH 8 3 2 2 3 ,EAAB,GHAB,EAGH,GH 是BEA 的中位线, EA3GH 4 3 ,过 B 作 BMOC,垂足为 M,则 MBOAAB,EBFABM90, EBAFBM90ABF,R tEBAR t FBM,FMEA 4 3 ,CMOCOM321,CFFMCM 7 3 (3)设 CFa,则 FM a1 或 1 a,BF2FM2BM2(a1)222a22a5,又 EBAFBM,BMBF, 则 22 111 (25) 222 BEF SBEBFBFaa A ,又 11 2 22 BFC sFCMBaa A , S 22 115 (25)2 222 aaaaa,即 S 2 11 (2) 22 a,当 a2(在 2a3)时, 7 1 2 S 最小值 6 6如图 12 已知ABC 中,ACB90以 AB 所在直线为 x 轴,过 c 点的直线为 y 轴建 立平面直角坐标系此时,A 点坐标为(一 1 , 0) , B 点坐标为(4,0 ) (1)试求点 C 的坐标 (2)若抛物线 2 yaxbxc过ABC 的三个顶点,求抛物线的解析式 (3)点 D( 1,m )在抛物线上,过点 A 的直线 y=x1 交(2)中的抛物线于点 E, 那么在 x 轴上点 B 的左侧是否存在点 P,使以 P、B、D 为顶点的三角形与ABE 相似? 若存在,求出 P 点坐标;若不存在,说明理由。 【答案】 (1)ACB90,COAB,ACOCBO, CO AO OB CO ,CO=2, 则 C(0,2); (2)抛物线 2 yaxbxc过ABC 的三个顶点,则 2 0416 0 c cba cba , 2, 2 3 , 2 1 cba,抛物线的解析式为2 2 3 2 1 2 xxy; (3)点 D( 1,m )在抛物线上,3m,D(1,3) ,把直线 y=x1 与抛物线 2 2 3 2 1 2 xxy联立成方程组 2 2 3 2 1 1 2 xxy xy 6 5 , 0 1 2 2 1 1 y x y x , E(5,6),过点 D 作 DH
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