第一章 集合和命题,1.5.1 充分条件、必要条件,1.5.2 充分条件、必要条件,是 的充分条件,是 的必要条件,是 的充分必要条件,复习 把左、右两边等价的说法的用线连起来,是 的必要条件,一、充要条件,，即,则称 是 的充分且必要条件,简称充要条件.,已知命题,“如果 ，那么 ”,如果 ，且,是 的充要条件又常说成：,是 的充要条件;,注意：,(1),例,“ ”,是,的充要条件.,“ ”,与,等价.,是偶数,是2的整数倍,“ ”,当且仅当 .,例1.判断下列 p 与 q 是否等价,(1),(2),(3),(4),(5),已知,有两个相等实根,不等价,不等价,不等价,等价,等价,证：,又,例2.已知实系数一元二次方程,求证“方程有两个相等实数根” 的充要条件,是“ ”.,二、关于充分条件、必要条件的证明,证：充分性,例2.已知实系数一元二次方程,求证“方程有两个相等实数根” 的充要条件,是“ ”.,二、关于充分条件、必要条件的证明,证：必要性,方程有两个相等的实数根,证毕,例3.求证：“ 且 ”成立的充要条件是,“ 且 ” .,证：充分性,或,中至少有一个大于零,且,必要性,且,又两个正数的和或乘积都是正数,因此，,且 .,证毕,(选用)例4.证明,成立的充分非必,要条件是,证：充分性,非必要性,时，,证毕,