第十三章 推理与证明 第一节 合情推理与演绎推理,考纲解读 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理；了解合情推理在数学发现中的作用. 2.了解演绎推理的重要性，掌握基本模式，并能进行一些简单的推理. 3.了解合情推理和演绎推理的联系和差异. 知识点精讲 1.合情推理 合情推理含归纳推理和类比推理两种基本推理方法. （1）归纳推理：根据某类事物的部分对象具有的某些特征，推出该类事 物的全部对象都具有这种特征的推理，是“部分到整体，个别到一般”的推 理，属不完全归纳推理.,（2）类比推理：两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有相似特征的推理，是“特殊到特殊”的推理. 2. 演绎推理 演绎推理就是根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理. 常用的演绎推理规则有：假言推理；三段论推理；传递性关系推理和完全归纳推理. 特别是“三段论”推理，其模式为： （1）大前提已知的一般结论. （2）小前提所研究的特殊情况. （3）结论根据一般结论，对特殊情况做出判断如下. 若 ，则 有性质 ； 检验， ；故 具有性质,题型归纳及思路提示 题型149 归纳推理,【例13.1】 如图所示的倒三角形数阵满足：,（1）第一行的个数分别是1，3，5，21； （2）从第二行开始，各行中的每一个数都等于它肩上的两个数之和； （3）数阵共有行，则第5行的第7个数是_.,【解析】,由数阵可知，每一行从左至右成等差数列，且公差为 2 ,易知第5行的第1个数为32+48=80，公差为 2 5 =32，,所以第7个数为80+632=272.,【例13.2】观察下列各式：+=1, 2 + 2 =3, 3 + 3 =4, 4 + 4 =7, 5 + 5 =11,则 10 + 10 =（ ）.,A.28 B.76 C.123 D.199,【评注】,本题也可通过演绎推理得出正确答案:,有+=1, 2 + 2 =3,可知2=2,=1,所以 10 + 10 = ( 5 + 5 ) 2 2 5 5 = 11 2 +2=123.,【解析】,从给出的等式的特点来观察发现，等式左端的值， 从第三项开始，后一项是前两项的和，,照此规律，则有：1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,，,所以 10 + 10 =123.,故选C.,题型150 类比推理 【例13.5】已知正三角形内切圆半径是高的 ，把这个结论类比到正四面体中，类似的结论应该是 ,【解析】 正三角形内切圆和正正四面体内切球这两类对象的相似特征为“正 三角形内切圆圆心到正三角形三边等距，正四面体内切球球心到正 四面体四个面等距”，这就是类比转化的条件所在，如图13-5所示， 由性质知正三角形内切圆圆心 也是正三角形的垂心，,在 边的高 上，连接,图13-5,如图13-6所示，类比正四面体 内切球球心 在四面体的高 上，连接,故类似的结论为：正四面体内切球半径是高的,图13-6,【例13.6变式1】已知圆 2 + 2 = 2 (0)上任意一点( 0 , 0 )处的切线方程为 0 + 0 = 2 .(1)类比上述结论，椭圆 2 2 + 2 2 =1(0)上任意一点 0 , 0 处切线方程为_；(2)用上述方法写出椭圆 2 4 + 2 3 =1在点 1, 3 2 处切线的方程，并证明你的结论.,【解析】,（1） 0 2 + 0 2 =1.,（2） 4 + 3 2 3 =1,即+24=0.证明如下：,联立 =42 3 2 +4 2 =12 ,消得3 (42) 2 +4 2 12=0.,整理得：4 2 12+9=0，,= (12) 2 449=0，,即直线+24=0与椭圆 2 4 + 3 3 =1相切.,【例13.6变式2】阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有：sin + =sincos+cossin sin =sincoscossin 由+得： sin + +sin =2sincos 令+=，=，则= + 2 ，= 2 ，,代入式得：sin+sin=2sin + 2 cos 2 . （1）类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：coscos=2sin + 2 sin 2 . （2）若的三个内角，满足cos2cos2=1cos2，试判断的形状.,【解析】,（1）证明：由cos + =coscossinsin cos =coscos+sinsin ,得：cos + cos =2sinsin ,令+=，=，则= + 2 ，= 2 ， 代入式得：coscos=2sin + 2 sin 2 .,（2）由二倍角公式可知：1cos2=2 sin 2 ，,利用（1）证明的结论可知：,即：sin(+)sin()= sin 2 ，,cos2cos2=2sin(+)sin(),又+=，,所以sin + =sin() =sin，,即 sin =sin=sin(+),亦即sin + +sin =0.,由已知可得：2sincos=0，,故= 2 ，所以为直角三角形.,又sin0，所以cos=0，,【评注】,本题第二问也可以通过三角恒等变换求解.,cos2cos2=1cos2,通过二倍角公式得12 sin 2 1+2 sin 2 =2 sin 2 ，,即 sin 2 + sin 2 = sin 2 ，由正弦定理的 2 + 2 = 2 .,故为直角三角形.,第二节 证明 考纲解读 1. 了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法 的思考过程、特点. 2. 了解间接证明的一种基本方法反证法. 了解反证法的思考过程、特点. 3. 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.,知识点精讲 1.直接法 直接法包括综合法和分析法. （1）综合法：从已知条件和结论出发，以演绎推理中的“三段论”规则 为工具，推出未知结论，其模式为 （2）分析法：从欲证结论出发，对结论进行等价变形，建立未知结论和 已知“条件，结论”的因果关系，其模式为：欲证 成立即证 成立，即 证 成立，即要 成立，因 成立故 成立.,2. 间接法 分类讨论法（肯定或排除） 间接法即反证法，就是证明欲证命题的等价命题逆否命题. 其模式为：欲证若 则 ，等价证 则 ，可设 不成立，推出 不成立或与某已成立结论矛盾 设 不成立为错，故 成立. 3. 数学归纳法 （1）数学归纳法也叫完全归纳法，可用来证明某些与自然数有关的数学命题，其直观模型为“多米诺骨牌”. （2）数学归纳法的证题格式 先证当 （ 为某一个初始自然数，常取 ）时命题成立（第一块“多米诺骨牌”倒下）. 假设 时命题成立，并在此前提下可以推出 时命题也成立（每次倒下的骨牌具有“前倒推后倒”的功能） . 由，命题对一切 的自然数恒成立. 数学归纳法的完成，步缺一不可.,题型152 反证法证明 【例13.11】若 均为实数，且 求证： 中至少有一个大于 【分析】本题所证问题包括多种情况，但结论的反面是唯一的，用反正法 较好.,【解析】假设 都不大于 ，即 则而因为 ，且所以 ，与 矛盾，因此假设错误.即 中至少有一个大于,题型归纳及思路提示,