1,抽象代数 理论、问题与方法,西南大学数学与统计学院 张广祥,2,教材与参考书,教材 张广祥:抽象代数理论、问题与方法,科学出版社, 2005 课程名称:近世代数 学习内容:教材前6章,3,学习前6章,1 导引(3) 2 数环与数域(6) 3 尺规作图(4) 4 对称与群(5) 5 代数方程的Galois理论(7) 6 从勾股定理到费马定理(7),4,本教材特点,以问题解决为主线避免概念化教学,5,问题解决,第2章 数环与数域:整数的平方和定理 第3章 尺规作图问题:尺规作图3大难题 第4章 对称与群:晶体分类定理 第5章 代数方程的Galois理论:不可解方程 第6章 从勾股定理到费马定理:2次代数整数环分类,6,问题解决,第7章 域上的代数:实数域上可除代数;欧拉恒等式;合成代数分类问题 第8章 多项式环的理想:希尔伯特基定理;代数簇不可约分解 第9章 理想的唯一分解性:整数唯一分解定理推广 第10章希尔伯特第17问题:整函数平方和,7,第1章 导引,1.1 方法与对象 1.2 映射与运算 1.3 群、环、域的定义,8,1.1 方法与对象,代数学发展的4个阶段:1 文字叙述阶段2 简化文字阶段3 符号代数阶段4 结构代数阶段,9,1.1 方法与对象,1 文字叙述阶段 主要特点: 直观推理 古代中国: 筹算法 古代希腊: 几何数论,10,古代中国: 筹算法,算筹计数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,11,古代中国: 筹算法,九章算术：筹算开方,12,九章算术：开方术,13,古代希腊: 几何数论,1+3+5+(2n-1)=n2.,14,2 简化文字阶段,丢番图（Diophantus,公元250年） 算术使用简化文字符号 12345678910： 平方： ， （dunamis） 立方：， （kubos） x3+8x-1： * x:; x3+8x: ; 减: ;常数: *,15,3 符号代数阶段,字母表示数 M.Stiefel(1486-1567)1553综合算术 使用+、-、 F.Viete(1540-1603):cubus aequalia a cubus+a plano2in b+b cubus,16,3 符号代数阶段,符号代数的意义 字母表示数：代数学不再停留在具体的数字计算，有了真正意义的数学公式、运算法则，并由此进化为现代数学符号系统、现代数学公理系统 项武义：近代代数学的分界不在于“字母表示数”而是“不定元引入”,17,4 结构代数阶段,结构代数：从公理系统出发研究特定的代数系统，群、环、域等 抽象代数是现代数学的基础 拓扑学：基本群、上同调群 代数数论：理想论 代数几何：代数簇,18,抽象代数三大基础,1 高次方程求根问题：Galois群，扩域2 费马问题高斯方法：Kummer理想论3 复数的几何解释：Hamilton四元数,19,思考问题1,刘徽像利用乘法公式解释筹算开方法的原理,20,思考问题2：素数的复整数分解,5=（1+2i）（1-2i） 问题：通常整数（有理整数）p=a+bi在复整数中存在非平凡分解的充分必要条件 注：1 ，i是复整数中仅有的非平凡因子,21,思考问题3：数学符号的价值和功能,现代数学密切依赖于高度专业化的符号系统，数学符号系统不仅仅是简化的表达形式，也是思维的有力工具：例，蝴蝶定理的“傻瓜证法”. 试用你自己的例证说明数学符号的价值和功能.,22,蝴蝶定理,23,蝴蝶定理,蝴蝶定理“傻瓜证法”,24,1.2 映射与运算,映射定义；单射、满射、一一映射集合A上的2元映射称为（ 2元）运算,25,集合分类,定义：非空集A上2元关系ab，满足1 自反性：aa2 对称性：若ab则ba3 传递性：若ab、 bc则ac 称2元关系为等价关系 等价类 A（a）= xa | xA 商集 = A（a）| aA ,26,集合分类,等价关系，例：等于；朋友关系；模n同余：若n|a-b则记ab（n），称为a与b模n同余 同余类：0，1，2，n-1,27,思考问题：映射的交换图,已知映射：AB满，定义：AA ， ：BA 证明一一；图交换 = A B A,28,1.3 群、环、域的定义,群的定义整数加群（Z，+）：1. 加法封闭2. 加法结合3. 加法交换4. 有0元5. 有逆元,29,群的定义,群的定义:非空集G,存在2元运算(乘法),满足条件1. 封闭律2. 结合律3. 单位元e4. 逆元a-1 称G是一个群.,30,群的一些简单性质,1. 群的单位元唯一 2. 每个元素的逆元唯一 3. 乘法不必交换,若交换则称为交换群 4. 若干例:有理数加群、非零有理数乘群n次单位根乘群、完全线性群GL(n,F) 5. 子群定义,31,环的定义,整数环Z:全体整数两个运算,加法、乘法,满足1. Z是加群2. 乘法封闭、结合、交换3. 乘法对加法分配律 称为整数环.,32,环的定义,环的定义:非空集R有两个运算,加与乘,满足1. R是一个加群（交换）2. 乘法封闭、结合3. 左右分配律 则称R是一个环.注: 0元、单位元、可逆元（单位）、交换环,33,环的例,环的若干实例：整数环、有理数环（域）、多项式环、连续函数环、全矩阵环Maxn(R)子环定义,34,域的定义,域的定义 域的若干实例:有理数域、实数域、复数域 数域Q(i)、Q（ ）,35,本节思考问题,汤璪真（毛泽东同学）群：定义整数集Z上 “*”运算:a*b=a+b-1,证明(Z,*)是一个群.并讨 论(Z,*)与整数加群之间的关系.,36,本节新增习题,习题1 证明含n个元素的集合A(称为文字集)上的全体一一映射,把复合映射作为映射的乘法,组成一个群,记这个群为Sn,称为n次对称群. 习题2 证明整数模5的同余类(剩余类)对于同余类的加法和乘法运算成为一个环.问这个环含几个元素?这个环是不是域?,