微分方程在数学建模中应用,微分方程是数学建模中用到的最广泛的模型之一。它被应用于预测人口的走势，种群的增长，污染物的扩散等实际问题的解决中。纵观历年数学建模的题目，微分方程模型的应用一直是考察的重点。,概括,常微分方程,引例 (曲线方程)：已知曲线上任意一点M (x, y)处切线的斜率等于该点横坐标3倍，且过 (-1，3)点，求此曲线方程。,思考2分钟:如何解决?,解: 设曲线方程为 ，则曲线上任意一点M (x, y)处切线的斜率为根据题意有,人口增长模型传染病模型总结,微分方程模型,马尔萨斯（Malthus）模型,阻滞增长（Logistic）模型,人口增长模型,模型1：马尔萨斯(Malthus)模型,马尔萨斯通过对大量的人口数据进行分析，做出了如下假设：单位时间内人口增长量与人口总数成正比，即人口净增长率 基本上是一常数 ， , 为出生率， 为死亡率。,设时刻 的人口总数为 ，时间从 到 人口增长量为：,等式两边同时除以 ，有,再运用极限的思想，令 有,马尔萨斯模型的一个显著特点：,令种群数量翻一番所需的时间为T，则有：,故 是一个常数。,种群数量翻一番所需的时间是固定的。,马尔萨斯模型人口预测图,对马尔萨斯模型的思考：,Malthus模型实际上只有在群体总数不太大时才合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现象。,所以Malthus模型假设的人口净增长率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关。,从上面的预测图可得知： 如一直按此模型发展下去，到2670年，人口达 个，只好一个人站在另一 人的肩上排成二层了。 故马尔萨斯模型是不完善的，它只适用于短时期。,模型2：阻滞增长(Logistic)模型,人口净增长率应与人口数量有关，即反应了自然因素对人口增长的影响，令r=r(N),从而有：,其中， , 故,注：设环境能供养的种群数量的上界为K（近似地将K看成常数），N表示当前的种群数量，K-N为环境还能供养的种群数量，则(K-N )/K为还能供养比例。,故满足初始条件N(0)=N0的解为：,易见：,N(t0)=N0 ，,不同初始条件下的N(t)的图形,Malthus模型和Logistic模型的总结,Malthus模型和Logistic模型均为对微分方程所作的模拟近似方程。前一模型假设了增长率r为一常数，后一模型则假设环境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。,Malthus模型呈现的是J型增长，只适应于短期内，并无外界因素影响。而Logistic模型呈现S型，适应于中长期且有外界因素影响。,Malthus模型和Logistic模型的推广,Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可。,如：传染病患者增长，养殖与捕捞，学生成绩增长。,小小实战,在一个有限的空间里，生长着一种生物，假设开始这种生物的生物量为m。请建立模型来描述该生物的增长规律。,2007全国 C题：中国人口政策问题,近三十年来，我国的人口政策在控制人口数量方面取得了非凡的成绩，但随着经济的发展和人口老龄化等现象的出现，使得我国调整人口生育政策成为可能。（1）利用有关数据，给出我国人口现状的统计结果；（2）试建立模型，给出我国调整人口生育政策的时机、具体方案并预测结果。,引例,一个地区有m个人，一名群众不慎患传染病，t小时后有n人发病，由于此地区不能及时隔离，问经过t1小时、t2小时，患此传染病的人数有多少？,描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻,按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型,解决问题的步骤：,已感染人数 (病人) i(t),每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为,模型1,假设,建模,分析一下,若有效接触的是病人，则不能使病人数增加,必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人),?,模型2,区分已感染者(病人)和未感染者(健康人),假设,1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为,2）每个病人每天有效接触人 数为, 且使接触的健康人致病, 日 接触率,SI 模型,建模,模型2,t=tm, di/dt 最大,tm传染病高潮到来时刻, (日接触率) tm,简单的求解,分析一下,赛题,2003年 全国高教社杯C题 SARS的传播,太简单了?,来个稍微麻烦一些的,赛题,国际竞赛B题: 艾滋病疗法的评价及疗效的预测,看完以后有什么想法？,是不是有思路了？哪位同学做个陈述？,描述对象特征随时间（空间)变化的特征 分析对象特征的变化规律 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 根据建模目的和问题分析做出简化假设 按照内在规律或用类比的方法建立微风方程,总结,谢谢大家,