关于绝对值函数的问题解决关于绝对值函数的问题解决有一道某地高三模拟考试题，涉及到绝对值函数，用来说明数学中的分类讨论思想非常有代表性。试题试题 已知函数，.1)(2 xxf|1|)(xaxg（1）若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围；x)(| )(|xgxfa（2）若当时，不等式恒函数成立，求实数的取值范围；Rx)()(xgxfa（3）求函数在区间-2,2上的最大值（直接写出结果，不需给出演)(| )(|)(xgxfxh算步骤）.解答（1）方程，即，变形得，显然，|( )|( )f xg x2|1|1|xa x|1|(|1|)0xxa已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程，有且仅有一个等1x |1|xa于 1 的解或无解 ，结合图形得. 0a （2）不等式对恒成立，即（*）对恒成立，( )( )f xg xxR2(1)|1|xa xxR当时， （*）显然成立，此时； 1x aR当时， （*）可变形为，令1x 21 |1|xax21, (1),1( )(1), (1).|1|xxxxxxx因为当时，当时，1x ( )2x1x ( )2x 所以，故此时. ( )2x 2a综合，得所求实数的取值范围是.a2a（3）因为=2( ) |( )|( ) |1|1|h xf xg xxa x2221, (1), 1, ( 11), 1, (1).xaxax xaxax xaxax 当时，结合图形可知在上递减，在上递增，1,22aa即( )h x 2,11,2且，经比较，此时在上的最大值为.( 2)33, (2)3haha( )h x 2,233a 当时，结合图形可知在，上递减，01,22aa即0( )h x 2, 1,12a在，上递增，且， 1,2a 1,2( 2)33, (2)3haha2 ()124aaha经比较，知此时在上的最大值为.( )h x 2,233a 当时，结合图形可知在，上递减，10,02aa即-2( )h x 2, 1,12a在，上递增，且， 1,2a 1,2( 2)33, (2)3haha2 ()124aaha经比较，知此时 在上的最大值为.( )h x 2,23a 当时，结合图形可知在，上递减，31,222aa 即-3( )h x 2, 2a1,2a在，上递增，且, ， ,12a,22a( 2)330ha(2)30ha 经比较，知此时 在上的最大值为.( )h x 2,23a 当时，结合图形可知在上递增，在上递减，3,322aa 即( )h x 2,11,2故此时 在上的最大值为.( )h x 2,2(1)0h综上所述，当时，在上的最大值为；0a( )h x 2,233a 当时， 在上的最大值为；30a( )h x 2,23a 当时， 在上的最大值为 0.3a ( )h x 2,2