120142014 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文科）数学（文科）一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 是虚数单位，复数（ ）i ii 437A. B. C. D. i1i1i2531 2517i725 7172. 设变量满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）yx, . 1, 02, 02yyxyx yxz2A.2 B. 3 C. 4 D. 53. 已知命题（ ）为则总有pexxpx, 1) 1(, 0:A. B. 1) 1(, 00 00xexx使得1) 1(, 00 00xexx使得C. D.1) 1(, 00 00xexx总有1) 1(, 00 00xexx总有4. 设则（ ）,log,log2212cbaA. B. C. D.cbacabbcaabc5. 设是首项为，公差为的等差数列，为其前 n 项和，若成等比数列， na1a1nS，421SSS则=（ ）1aA.2 B.-2 C. D .21 216. 已知双曲线的一条渐近线平行于直线双曲线的一个焦)0, 0( 12222 baby ax,102:xyl点在直线 上，则双曲线的方程为（ ）lA. B. C. D.120522 yx152022 yx11003 25322 yx1253 100322 yx27. 如图，是圆的内接三角行，的平分线交圆于点 D，交 BC 于 E，过点 B 的圆的切ABCBAC线与 AD 的延长线交于点 F，在上述条件下，给出下列四个结论：BD 平分；CBF；.则所有正确结论的序号是（ FAFDFB2DEBECEAEBFABBDAF）A. B. C. D. 8. 已知函数在曲线与直线的交点中，( )3sincos(0),.f xxxxR( )yf x1y 若相邻交点距离的最小值为，则的最小正周期为（ ）3( )f xA. B. C. D.22 32二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300 的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为，则应从一年级本科生中抽取 4:5:5:6名学生.10. 一个几何体的三视图如图所示（单位：） ，则该几何体的体积m为 .3m11.阅读右边的框图，运行相应的程序，输出的值为_.S12. 函数的单调递减区间是_. 3lgf xx13. 已知菱形的边长为，点，分别在边ABCD2120BADEF、上，.若，则的BCDC3BCBEDCDF1AE AE 值为_.14. 已知函数若函数恰有 4 0,220,452xxxxxxfxaxfy)(3个零点，则实数的取值范围为_a3解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（15） （本小题满分 13 分）某校夏令营有 3 名男同学和 3 名女同学，其年级情况如下表：CBA,ZYX,一年级二年级三年级男同学ABC女同学XYZ现从这 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（1）用表中字母列举出所有可能的结果（2）设为事件“选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学” ，求事件发MM生的概率.16、 （本小题满分 13 分）在中，内角所对的边分别为，已知，ABCCBA,cba,bca66CBsin6sin（1）求的值；Acos（2）求的值.)62cos(A17、 （本小题满分 13 分）如图，四棱锥的底面是平行四边形，PABCDABCD4，,分别是棱的中点. （1）证明平面；（2）若二面角 P-AD-B 为， 证明：平面 PBC平面 ABCD 求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值.18、 （本小题满分 13 分）设椭圆的左、右焦点分别为,，右顶点为 A，上顶点为 B.已知=.（1）求椭圆的离心率；（2）设 P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 PB 为直径的圆经过点，经过点的直线与该圆相切与点 M，=.求椭圆的方程.19. （本小题满分 14 分）已知函数232( )(0),3f xxax axR5（1）求的单调区间和极值；( )f x（2）若对于任意的，都存在，使得，求的取值范1(2,)x 2(1,)x 12()()1f xf xa围20.（本小题满分14分）已知和均为给定的大于1的自然数，设集合，集合qn12 , 1 , 0qM，niMxqxqxxxxAin n, 2 , 1,1 21（1）当时，用列举法表示集合 A；3, 2nq（2）设其中,1 211 21n nn nqbqbbtqaqaasAts证明：若则., 2 , 1,niMbaii,nnba ts 6参考答案参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 40 分。1. A2.B3.B4.C5.D6.A7.D8.C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 30 分。9. 6010. 11. -412. 13. 214. （1，2）20 3(,0)三、解答题：15.本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识。考查运用概率只是解决简单实际问题的能力。满分 13 分。解：（）从 6 名同学汇总随机选出 2 人参加只是竞赛的所有可能结果为, , , , , , , , , , , , , , , , A BA CA XA YA ZB CB XB YB Z，共 15 种。 , , , , , , , , C XC YC ZX YX ZY Z（）选出的 2 人来自不同年纪且恰有 1 名男同学和 1 名女同学的所有可能结果为，共 6 种。 , , , , , , , , , A YA ZB XB ZC XC Y因此，事件发生的概率M62()155P M 16.本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公式、两角差的余弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查基本运算求解能力，满分 13 分。解：（）在中，由，及，可得，ABCsinsinbc BCsin6sinBC6bc又由，有6 6acb2ac所以，2222222646cos242 6bcacccAbcc（）在中，由，可得，于是ABC6cos4A 10sin4A 2315cos22cos1,sin22sincos44AAAAA 7所以，153cos 2cos2 cossin2 sin6668AAA17.本小题主要考查直线与平面平行、平面与平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识。考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力。满分 13 分。（）证明：如图，取中点，连接，PBM,MF AM因为为中点，故且，由已FPC/MFBC1 2MFBC知有，又由于为中点，因而/,BCAD BCADEAD且，故四边形为平行四边/MFAEMFAEAMFE形，所以，又平面，而平/EFAMAM PABEF 面，所以平面PAB/EFPAB（）（）证明：连接，,PE BE因为，而为中点，故，,PAPD BABDEAD,PEAD BEAD所以为二面角的平面角。PEBPADB在中，由，可解得，PAD5,2PAPDAD2PE 在中，由，可解得，ABD2,2BABDAD1BD 在中，由，由余弦定理，可解得，PEB2,1,60PEBEPEB3PB 从而，即，90PBEBEPB又，从而，因此平面。/,BCAD BEADBEBCBE PBC又平面，所以，平面平面BE ABCDPBC ABCD（）解：连接，由（）知，平面，所以为直线与平面所成BFBE PBCEFBEFPBC的角，由及已知，得为直角，而，可得3PB ABP13 22MBPB，故，又，故在直角三角形中，11 2AM 11 2EF 1BE EBF8。2 11sin11BEEFBEF所以，直线与平面所成角的正弦值为EFPBC2 11 1118.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲线的性质。考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力。满分 13 分。（）解：设椭圆右焦点的坐标为，由，可得，2F( ,0)c123|2ABFF2223abc又，则222bac221 2c a所以，椭圆的离心率2 2e （）解：由（）知，故椭圆的方程为222ac22bc222212xy cc设，由，有00(,)P xy1(,0), (0, )FcBc1001(,),( , )FPxc yFBc c由已知，有，即，又，故有110FP FB 00()0xc cy c0c 000xyc因为点在椭圆上，故P22 00 2212xy cc由和可得，而点捕食椭圆的顶点，故，代入得2 00340xcyP04 3xc ，即点的坐标为03cy P4,3c c c设圆的圆心为，则，进而圆的半径11( ,)T x y11402233,2323ccc xc yc 22 115(0)()3rxycc9由已知，有，又，故有222 22|TFMFr2| 2 2MF 22 22258339cccc 解得23c 所以，所求椭圆的方程为22 163xy19.本小题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的性质，考查化归思想、分类讨论思想、函数思想。考查综合分析问题和解决问题的能力。满分 14 分。（）解：由已知，有2( )22(0)fxxaxa令，解得或( )0fx0x 1xa当变化时，的变化情况如下表：x( ),( )fxf xx(,0)010,a1 a1,a( )fx-0+0-( )f xA0A21 3aA所以，的单调递增区间是；单调递减区间是，( )f x10,a(,0)1,a当时，有极小值，且极小值；0x ( )f x(0)0f当时，有极大值，且极大值1xa( )f x211 3faa（）解：由及（）知，当时，；当3(0)02ffa30,2xa( )0f x 时，3,2xa( )0f x 10设集合，集合，则“对于 ( )|(2,)Af xx1|(1,),( )0(