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,1.1集合1.2函数及其表示1.3函数的基本性质,第一章 集合与函数概念,在这里启航制作室制作 Ttangjianwei126.com,1.1.1 集合的含义及表示,元素的定义:我们把研究的对象统称为元素例如:研究1到20之间的整数,这20个数字就是元素 集合的定义:把一些元素组成的总体叫做集合例如:研究1到20之间的整数,这20个数就是一个集合,集合的性质1.互异性:集合中的元素不重复出现2.确定性:给定一个元素,在不在这个集合中就确定了3.无序性:集合中的元素在集合内部没有固定的位置,判断下列命题是否正确a.“中国的大城市”是一个集合 (错)b.“自然数”是一个集合 (对)c.“所有的正方形”是一个集合 (对)d.“有文化的人”是一个集合 (错)e.“大于3小于11的偶数”是一个集合 (对)f.“ a,1,4, 6 其中a为常数”构成集合 (错),点拨:1a、 d.不满足确定性,所以是错误2当f=1或4或6时都不满足不重复性,所以不是集合,集合与元素的关系a.如果a是集合A的元素就说a属于A记作:aAb.如果a不是集合A的元素就说a不属于A,集合地表示1.列举法:把元素一一列举出来例如:23,3,48,4,62.描述法 a.自然语言描述例如:1到20的整数b.数学语言描述例如:x |x20 ,牢记的常用集合正整数集 N* 自然数集 N整数集 Z有理数集 Q实数集 R虚数集 C,1.1.2 集合间基本关系,子集的定义:如果A的全部元素都在B中,称A为B的子集 子集的表示:Venn图(韦恩图) 真子集:如果A包含于B,且存在元素x在A中但不在B中,称这时的子集为真子集 空集:不含任何元素的集合叫做空集,包含、包含于、不包含、不包含于的区别a.如果A是B的子集,称A包含于B或B包 含Ab.如果A不是B的子集,称A不包含于B或B不包含A,例如:判断下列两个集合的关系(1)A=1,2,4,B=x |x是8 的约数;(2)A=x |x是4与10的公倍数,x是自然数,B=x |x=20m,m为自然数,规定:(1)空集是任何集合的子集(2)空集是任何非空集合的真子集易见:任何一个集合是它本身的子集,都 不是它本身的真子集,传递性:包含、属于、相等( 定义留给同学们自己练习写出),集合相等:如果A的全部元素在B中,如果B的全部元素在A中,称A等于B ;记作A=B,例如:写出集合a,b,c的所有子集。注意:既然已经说是集合,就有a,b,c互不相同,1.1.3 集合的基本运算,并集:由所有属于A或属于B的元素组成 的集合 叫做A与B的并集,记作AB(读作“A并B”),即AB=x |xA, xB 交集:由所有属于A且属于B的元素组成 的集合叫做A与B的交集,记作AB(读作“A并B”),即AB=x |xA且 xB 并集:由所有属于A或属于B的元素组成 的集合 叫做A与B的并集,记作AB(读作“A交B”),即AB=x |xA, xB 补集:由所有属于A但不属于B的元素组成 的集合叫做A与B的补集,全集:把补集中最大的集合叫做全集例如:给出集合A=x |x是小于9的正整数,B=y |2y6,求出集合A、B、B在A中的补集注意到补集不是单独存在的,可能因全集的不同而不同,在说补集时不需要说清楚全集,,1.2.1 函数的概念,看下面的例题:在战争中,一枚炮弹发射后,经过26秒落地击中目标,炮弹在飞行过程中达到最高高度845米,且炮弹距离地面的高度h(单位:米)随时间t(单位:秒)变化的规律是这里,炮弹飞行时间t的变化范围是数集A=t|0t26炮弹距离地面的高度h变化范围是数集B=h|0h845.从问题的实际可知道,对于数集A中的任意一个t,按对应关系,在数集B中都有唯一的高度h和它对应.,上述问题可总结为:对于数集A中的每一个x,按照某种对应关系f,在数集B中都有唯一的y和它对应,记作 f:AB一般地,设A,B是非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任何一个x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么称f:AB为集合A到B的一个函数,记作 y=f(x),定义域:把自变量x的取值范围叫做定义域 值域:把函数值y组成的集合叫做值域易见,定义域是A的子集;值域是B的子集.,一个函数由定义域、值域、对应法则唯一确定,但值域由对应法则和定义域唯一确定,所以,函数由定义域、对应法则唯一确定两个函数相等当且仅当定义域和对应法则相同,问(1)y=k x+b确定的对应数不是函数,假如是写出对应法则、值域、定义域.(2) 确定的对应数不是函数,假如是写出对应法则、值域、定义域. (3) 确定的对应数不是函数,假如是写出对应法则、值域、定义域.,闭区间:满足axb的实数x的集合叫做闭区间,表示为a , b 开区间:满足axb的实数x的集合叫做开区间,表示为(a , b) 半开半闭区间:满足axb或 ax b的实 数x的集合叫做半开半闭区间,表示为(a , b或a ,b),1.2.2函数的表示,解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 图像法:用图像表示两个变量之间的对应关系 列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系,函数的本质: 两个数集间的一种对应关系;把数集扩充到任意集合,函数变成映射一般地,设A,B是集合,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任何一个x,在集合B中都有唯一确定的元素 y 和它对应,那么称f:AB为集合A到B的一个映射,1.2.3 单调性与最值,增函数:一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个变量 , ,当 时有f( ) f( ),那么就说f(x)在区间D上是增函数 减函数:一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个变量 , ,当 时有f( ) f( ),那么就说f(x)在区间D上是减函数,单调性、单调区间如果函数y=f(x)在D 上是增函数或减函数,那么就说y=f(x)在这一区间有(严格的)单调性,区间D 叫做y =f(x)的单调区间. 例如:一次函数y=f(x)的单调性解:在定义域上单调递增,例如:求 的单调性解:函数在y轴左侧下降函数在y轴右侧上升函数在x |x0单调递增,1.3.2 奇偶性,
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