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原码、反码和补码的概念原码、反码和补码的概念本节要求掌握原码、反码、补码的概念 知识精讲知识精讲 数值型数据的表示按小数点的处理可分为定点数和浮点数;按符号位有原码、反码和补码三种形式 的机器数。 一计算机中数据的表示方法一计算机中数据的表示方法 1、数的定点与浮点表示、数的定点与浮点表示 在计算机内部,通常用两种方法来表示带小数点的数,即所谓的定点数和浮点数。定点数:是小数点在数中的位置是固定不变的数,数的最高位为符号位,小数点可在符号位之后, 也可在数的末尾,小数点本身不需要表示出来,它是隐含的。缺点:只有纯小数或整数才能用定点数表示;浮点数:小数点在数中的位置是浮动的、不固定的数。 一般浮点数既有整数部分又有小数部分,通常对于任何一个二进行制数,总可以表示成:PS、均为二进制数, 为的阶码阶码,一般为定点整数,常用补码表示,阶码指明小数点在数据中的位置,它决定浮点的表示范 围为 N 的尾数尾数,一般为定点小数,常用补码或原码表示,尾数部分给出了浮点数的有效数字位数,它决定 了浮点数的精度,且规格化浮点数 0.5|S|;0.1B=( 1/2 )D =( 2-1 )D0.11B=(1/2 + 1/4 )D =( 2-1 + 2-2 )D0.111B=(1/2 + 1/4 + 1/8 )D =( 2-1 + 2-2 + 2-3)D - 在计算机中表示一个浮点数其结构为:阶码部分 尾数部分阶符阶数尾符尾数EfE1E2EmSfS1S2Sn 假设用八个二进制位来表示一个浮点数,且阶码部分占 4 位,其中阶符占一位;尾数部分占 4 位, 尾符也占一位。 若现有一个二进制数 N(101100)2 可表示为:1100.1011,则该数在机器内的表示形式为:101100B= 10110B * (21)D101100B= 1011B * (22)D101100B= 101.1B * (23)D101100B= 10.11B * (24)D101100B= 1.011B * (25)D101100B= 0.1011B * (26)D=0.1011B * (2110)B011001101一个浮点形式的尾数 S 若满足 0.5|S|1,且尾数的最高位数为 1,无无效的 0,则该浮点数称为规 格化数;规格化数可以提高运算的精度。S 为原码表示,则 S=1 规格化数S 为补码表示 N 为正数,则 S1 N 为负数,则 S1二、原码、反码和补码二、原码、反码和补码 1、机器数与真值 机器数机器数:在计算机中数据和符号全部数字化,最高位为符号位,且用 0 表示正、1 表示负,那么把包 括符号在内的一个二进制数我们称为机器数,机器数:机器数: 有原码、反码和补码三种表示方法。有原码、反码和补码三种表示方法。 比如,十进制中的数 +3 ,计算机字长为 8 位,转换成二进制就是 00000011。如果是 -3 ,就是10000011 。 那么,这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。 真值真值:用“+” 、 “”号表示的二进制数。 机器数因为第一位是符号位,所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数10000011,其最高位 1 代表负,其真正数值是 -3 而不是形式值 131(10000011 转换成十进制等于 131) 。 所以,为区别起见,将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。 例:0000 0001 的真值 = +000 0001 = +1,1000 0001 的真值 = -000 0001 = -12、原码、反码和补码的概念 1 1)概念)概念 机器数:机器数: 有原码、反码和补码三种表示方法。有原码、反码和补码三种表示方法。原码原码:是最简单的机器数表示法。其数符位用 0 表示正,1 表示负,其余各位表示真值本身。即用第一位表示符号, 其余位表示值,比如如果是 8 位二进制:1 的原码是 00000001,1 的原码是 10000001。反码反码:正数的反码同原码, 负数的反码为除符号位外,其它各位按位取反。正数的反码是其本身, 负数的反码是在其原码的基础上,符号位不变,其余各个位取反1 的反码是 00000001,1 的反码是 11111110。补码补码:正数的补码同原码,负数的补码为反码加 1。负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+11 的补码是 00000001,1 的补码是 11111110。 2)转换方法 当真值为正数真值为正数时,原码、反码、补码原码、反码、补码 3 种机器数的最高位均为最高位均为 0 当真值为负数真值为负数时,原码、反码、补码原码、反码、补码 3 种机器数的最高位均为最高位均为 1机器数的最高位为符号位最高位为符号位,其它位称为数值位其它位称为数值位。当真值为正数真值为正数时,原码原码=反码反码=补码补码; 当真值为负数真值为负数时,三种机器数的符号位相同,均为 1,原码的数值位保持“原”样,反码的数值位是 原码数值位的“按位取反” ,补码的数值位是原码的数值位的“按位取反”后再加 1,简称“取反加 1” 。 当真值为负数真值为负数时:补码补码 = 反码反码+1当真值为负数真值为负数时:原码原码 = 补码补码取补 补码补码 = 原码原码取补 -x补=模 - x补x补=模 - -x补 比如 8bit,模= 28=1_0000_0000 例如:(1)假设码长为 8 位,写出下列数的原码、反码和补码。 根据本题可得到结论:0 的原码、反码各有两种表示方法,而补码是唯一的全 0 表示。真值+0-0+1-1+127-127-128 原码000000001000000000000001100000010111111111111111溢出反码000000001111111100000001111111100111111110000000溢出补码00000000000000000000000111111111011111111000000110000000(2)假设码长为 8 位,写出原码、反码和补码所能表示定点整数和定点小数的范围。二进制定点整数十进制定点整数n 位可表示的个数二进制定点小数十进制定点小数原 码1111111101111111-127+1272n-1 个个1.11111110.1111 111- 127/128+127/12 8反 码1000000001111111-127+1272n-1 个个1.11111110.1111 111- 127/128+127/12 8补 码1000000001111111-128+127 (-128)代替了(-0)2n个个1.11111110.1111 111-1-127/128由此可见:n 位的二进制数用原码表示,则可表示的数的个数为 2n-1 个;n 位的二进制数用反码表示, 则可表示的数的个数为 2n1 个;n 位的二进制数用补码表示,则可表示的数的个数为n个。比如:补码中用(-128)代替了(-0) 编程中常用到的 32 位 int 类型,可以表示范围是: -231 231 -1 因为第一位表示的是符号位.而使 用补码表示时又可以多保存一个最小值 -2G 2G -1 3、算术运算、算术运算 计算机中的算术运算一般可采用补码进行,用补码表示的两个操作数进行算术运算,符号位可直接参 加运算,结果仍为补码。 定点补码加法运算运算规则:x+y补x取补y补定点补码减法运算运算规则:xy补x+(-y)补x补y补y补补的求法是将y补的各位(包括符号位)(包括符号位)全取反,最末位加。即将y补连同符号位一起取反加 1 便可得到y补。 -x补=模 - x补x补=模 - -x补 比如 8bit,模= 28 如:y补=10001010,则y补=01110110; -1补=28 - 1补=1_0000_0000 - 0000_0001 = 1111_1111y补=0100,则y补=1100; -(-1)补=28 - -1补=1_0000_0000 - 1111_1111 = 0000_0001 注意:在进行运算时有时会发生溢出。定点补码运算的溢出处理 采用补码运算时若结果的数值超出了补码所能表示的范围,则此种情况称为溢出。采用补码运算时若结果的数值超出了补码所能表示的范围,则此种情况称为溢出。 若计算结果比能表示的最大数还大则称为上溢,上溢时一般作溢出中断处理; 若计算结果比能表示的最小数还小则称为下溢,下溢时一般作机器零处理。 下面介绍用双符号判断溢出方法:引入两个符号位Cs+1、CsCs+1用来表示两个符号位向更高位进位时的状态,有进位时Cs+1=1,无进位时Cs+1=0;Cs用来表示两数值的最高位向符号位进位时的状态,有进位时Cs=1,无进位时Cs=0;当Cs+1Cs=00 或 11 时,无溢出;当Cs+1Cs=01 或 10 时,有溢出,当双符号位为 01 时正溢出,当双 符号位为 10 时负溢出;例如:x补=10011100,y 补=10011000,则x+y补= 。溢出,因为Cs+1Cs=10。故溢出逻辑表达式为 VCs+1Cs无符号数的运算 无符号数的运算实际上是指参加运算的操作数 X、Y 均为正数,且整个字长全部用于表示数值部分。 当两个无符号数相加时,其值在字长表示的范围内,其结果为正数。 当两个无符号数相减时,其值的符号位取决于两数绝对值的大小。 另外,地址在计算机中用无符号数表示。四原码四原码, , 反码反码, , 补码再深入补码再深入 计算机巧妙地把符号位参与运算, 并且将减法变成了加法, 背后蕴含了怎样的数学原理呢? 将钟表想象成是一个 1 位的 12 进制数. 如果当前时间是 6 点, 我希望将时间设置成 4 点, 我们可以: 1. 往回拨 2 个小时: 6 - 2 = 4 2. 往前拨 10 个小时: (6 + 10) mod 12 = 4 3. 往前拨 10+12=22 个小时: (6+22) mod 12 =4 2,3 方法中的 mod 是指取模操作, 16 mod 12 =4 即用 16 除以 12 后的余数是 4. 所以钟表往回拨(减法) 的结果可以用往前拨(加法)替代! 现在的焦点就落在了如何用一个正数, 来替代一个负数. 上面的例子我们能感觉出来一些端倪, 发 现一些规律. 但是数学是严谨的. 不能靠感觉. 首先介绍一个数学中相关的概念: 同余“模模”是指一个计量系统的计数范围是指一个计量系统的计数范围 例如:时钟的计量范围是 011,模=12。表示 n 位的计算机计量范围是 02n -1,模=2n“模模”实质上是计量器产生实质上是计量器产生“溢出溢出”的量的量,它的值在计量器上表示不出来,计量器上只能表示出模的余计量器上只能表示出模的余 数数。任何有模的计量器,均可化减法为加法运算。比如:时钟(模=12)中,加 8 和减 4 效果是一样的,因此凡是减 4 运算,都可以用加 8 来代替对时钟(模=12)而言,8 和 4 互为补数。以 12 模的系统中,11 和 1;10 和 2;9 和 3;7 和 5;6 和 6 都互为补数。共同的特点是两者相加等于模 对于计算机,其概念和方法完全一样。 n 位计算机,设 n=8, 所能表示的最大数是 11111111,若再加 1 称为 100000000(9 位)但因只有 8
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