第二讲间接效用函数与支出函数,Outline of Todays Class,1.间接效用函数 2.罗伊（Roy identity）等式 3.支出最小化问题 4.支出函数 5.希克斯（补偿）需求函数,6.谢泼特（Shephard）引理 7.效用最大化与支出最小化的关系 8.斯卢茨基方程 9.替代效应与收入效应,一、定义,瓦尔拉斯定律,第一节间接效用函数,它是极大化了的效用,它的自变量不是消费计划， 而是价格与收入,控制消费者行为， 可以间接地控制p、m来实现,二、性质,（一）,v（tp,tm）=v（p,m）(t0) 即它是关于p,m的零次齐次函数,（二）,证：记,（三）,证：记,（四）罗伊（Roy identity）等式：,如果,则,证明：,先求分子,（最大化一阶条件）,同时,即,两边同时对pj偏微分,故,（1）,再求分母,对m求偏微分,又,两边对m求微分,由（1）、（2）可得,例，设,比较政府征收0.5元的所得税 与0.5元的商品税对消费者效用 的影响。,三、应用,解：,的解为,故,时,现在假设政府对商品1按0.25元/单位征收消费税，即,由0.25元变为0.5元从而,政府获得税金总额为,如果政府征收同等额度的所得税即,则,所以,征收所得税 比商品税对消费者的影响要小,第二节 支出函数,一、支出最小化问题,（一）,（二）,希克斯（补偿）需求函数,（M2）的解x与p，u有关， 即是p，u 的函数，这一函数称为 希克斯需求函数，记为,（三）支出函数,二、支出函数的性质,（一）若,则,证：,（二）.,证：,u 不变，给定p时，支出最小为ph(p,u),价格tp下，支出最小为e(tp,u),(三),是关于P的凹函数,即,有,证：设,则,三.谢泼特（Shephard）引理,为希克斯函数,的第i个分量,证明：,两边对pi求偏导,在最小化的过程中,最小化的一阶条件：,四、效用最大化与支出最小化的关系,命题1.设,的解，则,x*也是(M2)的解。,命题2.,设,的解，记,则x*也是（M1）的解,五、重要等式,（一）,证：设x*为,在,时的解，,则其必为,的解，故,即要想获得最大效用必定要花掉所有的收入,（二）,证：设x*为,时,M1的解，故,又x*必为M2的解，故x*满足,所以,即花掉所有收入的效用最大,（三）,（四）,偏好,EMP,UMP,六、例题,例2（P22）,七、预算份额,Si=pixi/m,习题1,1.6 斯卢茨基方程,一.方程及其推导:,证明：,两边对pi微分,(1),由谢泼特引理知,且,即,代入(1)式变形即可得,二. 替代效应与收入效应,(一)替代效应:由商品价格的变动起的商品相对价格的变动,进而由其导致商品需求量的变化.(二)收入效应：由商品价格变动所导致的实际收入水平变动,进而导致商品需求量的变动。,+,-,+,-,替代效应,收入效应,x2,x1,替代效应,收入效应,-,-,+,-,x2,x1,x1,X1,x1,替代效应,收入效应,三.关于普通需求曲线的斜率,在斯卢茨基方程中令i=j得,所以,1.正常商品。从而收入效应,2.对于低档商品,收入效应0，符号不定，大致可分为两种情况： 其一，若收入效应的绝对值小于自替代效应的绝对值，斜率为负，即普通需求曲线是向右下方倾斜的。 其二，若收入效应的绝对值大于自替代效应的绝对值，斜率为正，即普通需求曲线是向有上方倾斜的，属吉芬商品。,消费者行为理论小结,1.偏好作为个人选择的基础和出发点. 2.建立偏好与效用函数的相互对应，便于数学分析. 3.个人选择问题理论上抽象为效用最大化问题。,4. 效用最大化的均衡条件： 商品的边际替代率=边际交换率 5.引入普通需求函数、希克斯需求函数、间接效用函数和支出函数等概念，讨论它们之间关系.从某种程度上是对个人选择问题讨论的深化。斯卢茨基方程的导出是这种讨论深化的具体体现。,习题： 1、设,求,2、设,求：,