1 探究探究题题 青青岛岛中考真中考真题题23 （10 分） （2014青岛）数学问题：计算 +（其中 m，n 都是正整数，且 m2，n1） 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为 1 的正 方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究探究一：计算 +第 1 次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为 ；第 2 次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为 +；第 3 次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，； 第 n 次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为+，最后空白部分的面积是根据第 n 次分割图可得等式： +=1探究二：计算 +第 1 次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为 ；第 2 次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为 +；第 3 次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，； 第 n 次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为+，最后空白部分的面积是2根据第 n 次分割图可得等式： +=1，两边同除以 2，得 += 探究三：计算 +（仿照上述方法，只画出第 n 次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）解决问题：计算 +（只需画出第 n 次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空） 根据第 n 次分割图可得等式： _ ，所以， += _ 拓广应用：计算 +323 （10 分） （2013青岛）在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，根据图 1 和图 2 发 现并验证了平方差公式和完全平方公式 这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化【研究速算】 提出问题：4743，5654，7971，是一些十位数字相同，且个位数字之和是 10 的两个两位数相乘的算 式，是否可以找到一种速算方法？ 几何建模： 用矩形的面积表示两个正数的乘积，以 4743 为例： （1）画长为 47，宽为 43 的矩形，如图 3，将这个 4743 的矩形从右边切下长 40，宽 3 的一条，拼接到 原矩形上面 （2）分析：原矩形面积可以有两种不同的表达方式：4743 的矩形面积或（40+7+3）40 的矩形与右上 角 37 的矩形面积之和，即 4743=（40+10）40+37=54100+37=2021 用文字表述 4743 的速算方法是：十位数字 4 加 1 的和与 4 相乘，再乘以 100，加上个位数字 3 与 7 的积， 构成运算结果 归纳提炼： 两个十位数字相同，并且个位数字之和是 10 的两位数相乘的速算方法是（用文字表述） _ 【研究方程】提出问题：怎样图解一元二次方程 x2+2x35=0（x0）？几何建模： （1）变形：x（x+2）=35 （2）画四个长为 x+2，宽为 x 的矩形，构造图 4（3）分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式， （x+x+2）2或四个长 x+2，宽 x 的矩形面积之和，加上中间边长为 2 的小正方形面积即（x+x+2）2=4x（x+2）+22x（x+2）=35（x+x+2）2=435+22（2x+2）2=144x0 x=5 归纳提炼：求关于 x 的一元二次方程 x（x+b）=c（x0，b0，c0）的解4要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并注明相关线段的 长）【研究不等关系】 提出问题：怎样运用矩形面积表示（y+3） （y+2）与 2y+5 的大小关系（其中 y0）？ 几何建模： （1）画长 y+3，宽 y+2 的矩形，按图 5 方式分割 （2）变形：2y+5=（y+3）+（y+2） （3）分析：图 5 中大矩形的面积可以表示为（y+3） （y+2） ；阴影部分面积可以表示为（y+3）1，画点 部分的面积可表示为 y+2，由图形的部分与整体的关系可知（y+3） （y+2）（y+3）+（y+2） ，即（y+3） （y+2）2y+5 归纳提炼： 当 a2，b2 时，表示 ab 与 a+b 的大小关系 根据题意，设 a=2+m，b=2+n（m0，n0） ，要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步 骤（用钢笔或圆珠笔画图并注明相关线段的长）523 （10 分） （2012青岛）问题提出：以 n 边形的 n 个顶点和它内部的 m 个点，共（m+n）个点作为顶点， 可把原 n 边形分割成多少个互不重叠的小三角形？ 问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊性的策略，先从简单和具体的情形入手： 探究一：以ABC 的三个顶点和它内部的 1 个点 P，共 4 个点为顶点，可把ABC 分割成多少个互不重叠 的小三角形？ 如图，显然，此时可把ABC 分割成 3 个互不重叠的小三角形 探究二：以ABC 的三个顶点和它内部的 2 个点 P、Q，共 5 个点为顶点，可把ABC 分割成多少个互不 重叠的小三角形？ 在探究一的基础上，我们可看作在图ABC 的内部，再添加 1 个点 Q，那么点 Q 的位置会有两种情况：一种情况，点 Q 在图分割成的某个小三角形内部不妨假设点 Q 在PAC 内部，如图； 另一种情况，点 Q 在图分割成的小三角形的某条公共边上不妨假设点 Q 在 PA 上，如图 显然，不管哪种情况，都可把ABC 分割成 5 个不重叠的小三角形 探究三：以ABC 的三个顶点和它内部的 3 个点 P、Q、R，共 6 个点为顶点可把ABC 分割成 _ 个互不重叠的小三角形，并在图中画出一种分割示意图 探究四：以ABC 的三个顶点和它内部的 m 个点，共（m+3）个顶点可把ABC 分割成 _ 个 互不重叠的小三角形 探究拓展：以四边形的 4 个顶点和它内部的 m 个点，共（m+4）个顶点可把四边形分割成 _ 个互不重叠的小三角形 问题解决：以 n 边形的 n 个顶点和它内部的 m 个点，共（m+n）个顶点可把ABC 分割成 _ 个互不重叠的小三角形 实际应用：以八边形的 8 个顶点和它内部的 2012 个点，共 2020 个顶点，可把八边形分割成多少个互不 重叠的小三角形？（要求列式计算）623 （10 分） （2011青岛） 问题提出问题提出 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一 定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式 M、N 的大小，只要作出它们的差 MN，若 MN0，则 MN；若MN=0，则 M=N；若 MN0，则 MN问题解决问题解决 如图 1，把边长为 a+b（ab）的大正方形分割成两个边长分别是 a、b 的小正方形及两个矩形，试比较两 个小正方形面积之和 M 与两个矩形面积之和 N 的大小解：由图可知：M=a2+b2，N=2abMN=a2+b22ab=（ab）2ab，（ab）20MN0MN 类比应用类比应用（1）已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克和元/千克（a、b 是正数，且ab） ，试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低（2）试比较图 2 和图 3 中两个矩形周长 M1、N1的大小（bc） 联系拓广联系拓广 小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图 4 所示（其中 bac0） ，售货员分别可按图 5、图 6、图 7 三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳 最长？请说明理由723 （10 分） （2010青岛） 问题再现：问题再现： 现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见在八年级课题学习“平面图形的镶 嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题、今天我们把正多边 形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究 我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面如图中，用正方形镶嵌平面，可以发现 在一个顶点 O 周围围绕着 4 个正方形的内角 试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着 _ 个正六边形的内角 问题提出：问题提出： 如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？ 问题解决：问题解决： 猜想 1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？ 分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决、从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于 分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周 围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角 验证 1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有 x 个正方形和 y 个正八边形的内角可以拼成一个周角根据题意，可得方程：90x+，整理得：2x+3y=8，我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为结论 1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着 1 个正方形和 2 个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以 同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌 猜想 2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进 行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由 验证 2：_；结论 2：_ 上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案， 相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案 问题拓广：问题拓广：8请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验 证过程 猜想 3：_； 验证 3：_； 结论 3：_23 （10 分） （2009青岛）我们在解决数学问题时，经常采用“转化”（或“化归”）的思想方法，把待解决 的问题，通过某种转化过程，归结到一类已解决或比较容易解决的问题 譬如，在学习了一元一次方程的解法以后，进一步研究二元一次方程组的解法时，我们通常采用“消元”的 方法，把二元一次方程组转化为一元一次方程；再譬如，在学习了三角形内角和定理以后，进一步研究 多边形的内角和问题时，我们通常借助添加辅助线，把多边形转化为三角形，从而解决问题 问题提出：如何把一个正方形分割成 n（n9）个小正方形？ 为解决上面问题，我们先来研究两种简单的“基本分割法” 基本分割法 1：如图，把一个正方形分割成 4 个小正方形，即在原来 1 个正方形的基础上增加了 3 个 正方形 基本分割法 2：如图，把一个正方形分割成 6 个小正方形，即在原来 1 个正方形的基础上增加了 5 个 正方形问题解决：有了上述两种“基本分割法”后，我们就可以把一个正方形分割成 n（n9）个小正方形 （1）把一个正方形分割成 9 个小正方形 一种方法：如图，把图中的任意 1 个小正方形按“基本分割法 2”进行分割，就可增加 5 个小正方形， 从而分割成 4+5=9（个）小正方形 另一种方法：如图，把图中的任意 1 个小正方形按“基本分割法 1”进行分割，就可增加 3 个小正方 形，从而分割成 6+3=9（个）小正方形 （2）把一个正方形分割成 10