资源预览内容
第1页 / 共15页
第2页 / 共15页
第3页 / 共15页
第4页 / 共15页
第5页 / 共15页
第6页 / 共15页
第7页 / 共15页
第8页 / 共15页
第9页 / 共15页
第10页 / 共15页
亲,该文档总共15页,到这儿已超出免费预览范围,如果喜欢就下载吧!
资源描述
向量的旋转变换,西南交通大学,基础的2-D绕原点旋转,在2-D的迪卡尔坐标系中,一个位置向量的旋转公式可以由三角函数的几何意义推出。比如上图所示是位置向量R逆时针旋转角度B前后的情况。在左图中,我们有关系:x0=|R|*cosAy0=|R|*sinA,= cosA=x0/|R| sinA=y0/|R| 下图中,x1=|R|*cos(A+B) y1=|R|*sin(A+B) 其中(x1,y1)就是(x0,y0)旋转角B后得到的点,也就是位置向量R最后指向的点。,x1=|R|*cos(A+B) y1=|R|*sin(A+B) 我们展开cos(A+B)和sin(A+B),得到x1=|R|*(cosAcosB-sinAsinB)y1=|R|*(sinAcosB+cosAsinB)现在把 cosA = x0/|R| sinA = y0/|R|代入上面的式子,得到x1 = |R|*(x0*cosB/|R|-y0*sinB/|R|)y1 = |R|*(y0*cosB/|R|+x0*sinB/|R|)= x1 = x0 * cosB - y0 * sinBy1 = x0 * sinB + y0 * cosB 现在我要把这个旋转公式写成矩阵的形式即:2-D旋转变换矩阵:,平面旋转矩阵,平移部分,平移不是线性的,不能表示为与22矩阵相乘的形式。例如要从点(2, 1)开始,将其旋转 90度,在x方向将其平移3个单位,在y方向将其平移4个单位。可通过先使用矩阵乘法再使用矩阵加法来完成此操作。,i,P1,B1,补充部分,平移部分,平移不是线性的,不能表示为与22矩阵相乘的形式。例如要从点(2, 1)开始,将其旋转 90度,在x方向将其平移3个单位,在y方向将其平移4个单位。可通过先使用矩阵乘法再使用矩阵加法来完成此操作。,后面跟一平移(与 12 矩阵相加)的线性变换(与 22 矩阵相乘)称为仿射变换。放射变换(先乘后加)可以通过乘以一个3*3的矩阵来实现,若要使其起作用,平面上的点必须存储于具有虚拟第三坐标的 13 矩阵中。通常的方法是使所有的第三坐标等于 1。例如,矩阵 2 1 1 代表点 (2, 1)。例如与单个 33 矩阵相乘的仿射变换(旋转 90 度;在 x 方向上平移 3 个单位,在 y 方向上平移 4 个单位):,在前面的示例中,点(2,1)映射到了点(2, 6)。其中33 矩阵的第三列包含数字0,0,1。对于仿射变换的33 矩阵都是这样的。重要的数字是列 1 和列 2 中的 6 个数字。矩阵左上角的 22 部分表示变换的线性部分,第 3 行中的前两项表示平移。,在使用3*3的矩阵做仿射变换时候,表示点的矩阵变成了一个1*3矩阵,这个矩阵中的最后一个值必须设置成1。对于3*3矩阵,其最后一列的值是多少是没有关系的,因为他们不会影响结果中的前两列。不过如上,经常将他们设置为0,0,1。这一列对于坐标转换的结果并没有任何影响,但是他们是必须的,因为矩阵相乘必须满足 “相乘的两个矩阵第一个矩阵的列数必须与第二个矩阵的行数相同”。,平面或空间里的每个线性变换(这里就是旋转变换)都对应一个矩阵,叫做变换矩阵。对一个点实施线性变换就是通过乘上该线性变换的矩阵完成的。 把顶点和矩阵相乘,就会发现矩阵的某些项,扮演着为顶点变换(平移、旋转、缩放)提供参数的作用。(前人总结出来,填哪些那些项能得到平移矩阵/缩放矩阵/旋转矩阵) 比如平移矩阵,你自己拿一个顶点和它相乘,算一遍,就会发现它化简到最后一步时的算式,和顶点平移算式是一样的。旋转、缩放也是如此。,那么为什么还要和矩阵相乘?直接用平移算式、旋转算式、缩放算式不就行了? 不行 因为靠矩阵来计算可以减少计算量。 一个顶点要进行多次变换,比如平移后旋转再平移之后再缩放,用简单算式得算4遍,矩阵只要算一遍。 原理就是公式:(顶点矩阵A)矩阵B = 顶点(矩阵A矩阵B),即矩阵接合律的推广。(矩阵一般不遵守分配律,所以顶点变换有先后顺序,一个顶点平移再旋转,和旋转再平移,得到的位置不同)即:很容易地进行组合变换以及逆变换。 机器人中可能很多关节都进行同一套变换。用简单算式,n个变换对m个顶点,就得算nm遍。把n个变换做成矩阵,用矩阵乘法接合到一起,那最后m个顶点,每个只要同矩阵做一次乘运算,就可以得到变换后的位置。计算量大大降低,
网站客服QQ:2055934822
金锄头文库版权所有
经营许可证:蜀ICP备13022795号 | 川公网安备 51140202000112号