8-5 傅里叶级数展开,研究周期（函数）现象产生； 三角函数是最简单的周期函数； 任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的级数表示；,本节内容,一、三角级数及三角函数系的正交性 二、周期函数展开为傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数 四、一般周期函数的傅里叶级数 五、任意区间上非周期函数的傅里叶级数 P316，自学,9. 将函数,展开成正弦级数.,2011级考题,五、任意区间上非周期函数的傅里叶级数 P316，自学,作业：,P317，习题8-5，1(1) ， 3。 小结本章内容，并寻找傅里叶级数的应用。,小结：,1. 周期为 2 的函数的傅里叶级数及收敛定理,其中,注意: 若,为间断点,则级数收敛于,2. 周期为 2 的奇、偶函数的傅里叶级数,奇函数,正弦级数,偶函数,余弦级数,3. 在 0 , 上函数的傅里叶展开法,作奇周期延拓 ,展开为正弦级数,作偶周期延拓 ,展开为余弦级数,1. 在 0 , 上的函数的傅里叶展开唯一吗 ?,答: 不唯一 , 延拓方式不同级数就不同 .,思考：,处收敛于,2.,则它的傅里叶级数在,在,处收敛于 .,提示:,设周期函数在一个周期内的表达式为,3. 设,又设,求当,的表达式 .,解: 由题设可知应对,作奇延拓:,由周期性:,为周期的正弦级数展开式的和函数,定义域,4. 写出函数,傅氏级数的和函数 .,答案:,备用题 1.,叶级数展式为,则其中系,提示:,利用“偶倍奇零”,(93 考研),的傅里,2. 设,是以 2 为周期的函数 ,其傅氏系数为,则,的傅氏系数,提示:,令,狄利克雷 (18 05 1859),德国数学家.,对数论, 数学分析和,数学物理有突出的贡献,是解析数论,他是最早提倡严格化,方法的数学家.,函数 f (x) 的傅里叶级数收敛的第一个充分条件;,了改变绝对收敛级数中项的顺序不影响级数的和,举例说明条件收敛级数不具有这样的性质.,他的主要,的创始人之一,并,论文都收在狄利克雷论文集 (1889一1897)中.,1829年他得到了给定,证明,