数值分析,主讲教师: 满红英,2,教材 丁丽娟，程杞元， 数值计算方法，高等教育出版社 参考书 各工科院校相应教材 清华大学,哈工大,西安交大等,3,最后成绩=实验作业成绩(20%)+考试成绩(80%) 实验作业：下列1和2选择一个 1.自选题(结合专业)，作业中包含下列内容 (1)实际问题 (2)数学模型 (例如，解常微分方程组，数据拟合等) (3)计算方法 (4)程序(matlab) (5)计算结果及分析,考试前交,4,最后成绩=实验作业成绩(20%)+考试成绩(80%) 实验作业：下列1和2选择一个 2.课本或其它参考书的数值实验题(至少6道) 作业中包含下列内容 (1)题目（课本外的说明出处） (2)程序(matlab) (3)计算结果及分析,4月1日前交一次，考试前交一次。,5,打印稿(不需要计算过程)，或电子文档 注明学院、专业 完全相同的实验作业没有实验作业成绩 答疑：课间 周二、四中午12:4013:40 中心教学楼816 建议或问题：manhybit.edu.cn,6,问题：数值计算方法是做什么用的？,求各种数学问题近似解的方法和理论,实际问题,7,主要内容 数值代数 线性方程组求解(第二章,第三章) 特征值计算(第四章) 数值逼近 插值法(第五章) 函数逼近(第六章) 数值微分数值积分(第七章) 非线性方程求解(第八章) 常微分方程数值解法(第九章),8,第一章 误差,1 误差的来源与分类,从实际问题中抽象出数学模型 模型误差,通过测量得到模型中参数的值 观测误差,求近似解 截断误差,机器字长有限 舍入误差,9,2 绝对误差、相对误差和有效数字,2.1 绝对误差与相对误差,10,例：,11,四舍五入的原则： 1. 舍入后绝对误差限不超过末位数的半个单位 2.舍入部分刚好是末位数的半个单位，使末位凑成偶数,例：0.7135, 0.7765, 0.73251分别取三位小数,0.714, 0.776, 0.733,一般地, 凡是由准确值经过四舍五入得到的近似值, 其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位.,四舍六入五成双,12,例：测得会议室的长为30m宽为10m，长的误差不超过 5cm, 宽的误差不超过2cm, 如何表示？,哪一个精度高？,13,两种误差限的关系：,14,15,2.2 有效数字,16,例如,准确到小数点后第 位，,则其准确到小数点后第 位，,17,18,有效数字另一等价定义,19,问题：有效数字的位数和精确度的关系？,考虑相对误差限与有效数字的关系,20,反之,21,解: （用绝对误差限和有效数字的关系）,取三位有效数字.,要使绝对误差限满足,22,解1：相对误差限和有效数字的关系,23,解2:（用绝对误差限和有效数字的关系）,问题：假定1.21及运算过程精确到两位小数，,误差的传播,25,3 数值计算中误差的传播,3.1 基本运算中的误差传播,27,特别地，和、差、积、商的误差公式为：,28,即和、差的绝对误差限不超过各数的绝对误 差限之和，积、商的相对误差限不超过各 数的相对误差限之和.,例 假定运算中数据都精确到两位小数，试求,的绝对误差限和相对误差限，计算结果有几位有效 数字?,解：,计算结果有2位有效数字.,30,故计算结果有2位有效数字.,31,32,3.2 算法的数值稳定性,算法：设计由已知数据计算问题结果的运算顺序,稳定性：在算法的计算过程中，数据误差和舍入误差 在计算过程中不增长，则称算法是数值稳定 的；否则称算法是数值不稳定的.,33,算法,34,35,36,算法 由于,取,按公式,37,38,分析原因：,由算法,对算法,结论：算法数值不稳定，算法数值稳定。,39,4 数值计算中应注意的问题,1. 避免两个相近的数相减,40,解.,若取,则,41,一般地，,当x充分大时，应作变换：,当x 接近零时，应作变换,42,2.避免大数“吃”小数.,计算机浮点数运算导致,绝对值差异很大的数做加减运算时，绝对值小的数被 吃掉.,43,3.避免除数绝对值远小于被除数的绝对值,4.简化计算，减少运算次数，提高效率,如计算n次多项式的值,需 次乘法运算，,次加法运算.,需 次乘法运算，,次加法运算.,45,5.选用数值稳定性好的算法.,Ex. P13. 9, 10, 11, 12,46,47,48,(3),49,