第三章 模糊关系,本章内容,1. 模糊关系的基本概念 2. 模糊矩阵 3. 模糊关系和模糊矩阵的合成 4. 模糊等价矩阵,同学集合 X=张三，李四，王五 外语选修课程集合 Y=英，法，德，日 R= (张三, 英), (张三, 法), (李四, 德), (王五, 日), (王五, 英),什么是关系,普通关系,定义1：集合A,B的直积AB=(a,b)|aA,bB的一个子集R称为A到B的一个二元关系，简称关系。 可见，关系也是个集合。,关系example1,设X为横轴，Y为纵轴，直积XY是整个平面，其上的普通关系xy：,Y,X,Y=X,R:XY,0,模糊关系example1,其上的模糊关系R=“x远远大于y”，怎么表示？ 当x=1000,y=100时，R(x,y)=0.999 当x=20,y=10时，R(x,y)=0.5 当x=20,y=18时，R(x,y)=0.0358,概念,定义3.1,称为从X,到Y的模糊关系.,(关联度)。,特别，从X到X的模糊关系称为 X上的模糊关系,1. 模糊关系的基本概念,模糊关系example2,例：设身高论域U=140，150，160，170，180，体重论域V=40，50，60，70，80，则身高与体重之间的模糊关系：,两点说明：,模糊关系example3,模糊关系的运算,模糊关系就是模糊子集，只不过其论域是直积 AB罢了 模糊关系的运算法则完全服从模糊集合的运算 法则,运算,可推广,包含：,相等：,并：,交：,余：,以下是几个特定的模糊关系:,倒置,倒置,倒置,以下是几个特定的模糊关系:,以下是几个特定的模糊关系:,模糊关系的性质：,2.模糊关系的表示模糊矩阵,经典有限集合上的关系，可以使用矩阵来表示。 若论域XY是有限集，模糊关系可以表示为模糊矩阵。 模糊矩阵元素表示关系的隶属值。 若论域XY是连续或无限的，则该论域上的(模糊)关系不能用(模糊)矩阵来表示。,模糊矩阵的定义,如果对于任意i=1,2,m, j=1,2,n,都有rij0,1,则称矩阵R=(rij)mn为模糊矩阵。若rij0,1,则模糊矩阵变成Boole矩阵。 模糊矩阵可以表示模糊关系，对于“A上的模糊关系”用模糊方阵来表示。,模糊矩阵Example,设有四种物品，苹果、乒乓球、书、花组成的论域U，分别用x1,x2，,xn表示，它们的相似程度可以用模糊关系R来表示：,例1.,例2.,身高与体重之间的关系为：,模糊矩阵Example,模糊关系与模糊矩阵,如果给定X上的模糊关系I满足 则称I为X的“恒等关系”，表示恒等关系I的矩阵为单位矩阵。,模糊关系与模糊矩阵,若给定XY上的模糊关系O，满足 则称O为XY的“零关系”， 表示零关系O的矩阵为零矩阵。,模糊关系与模糊矩阵,如果给定XY上的模糊关系E满足 称E为XY的“全称关系”，表示全称关系E的矩阵为全称矩阵。,模糊关系与模糊矩阵,如果给定XY上的模糊关系R，定义 称RT为R的“倒置关系”,表示模糊关系RT的矩阵为R矩阵的转置矩阵。,模糊矩阵的关系,设A、B为模糊矩阵，记A=(aij), B=(bij)，i=1,2,m, j=1,2,n, 则 (1)相等：A=B 对任意i, j 有 aij = bij (2)包含：A B 对任意i, j 有 aij bij,因此，对任何 总有：,模糊矩阵的运算,设A、B为模糊矩阵，记A=(aij), B=(bij)，i=1,2,m, j=1,2,n, 则 (1)并：AB (aijbij)mn (2)交: AB (aijbij)mn (3)余: Ac (1-aij) mn,例：,求,模糊矩阵的运算性质,（1）幂等律：AAA , AA=A; （2）交换律：AB=BA, AB=BA; （3）结合律：(AB)C=A(B C), (AB)C=A(BC); （4）吸收律：A(AB)= A, A(AB)=A; （5）分配律: (AB)C=( AC)(BC), (AB)C= ( AC)(BC);,模糊矩阵的运算性质,（6）0-1律：AOA, AOO; EA=E,EA=A; （7）还原律：(Ac)c=A; （8）对偶律：(AB)c= AcBc, (AB)c= AcBc.,排中律不成立！ AcA E, AAc O,注意,模糊矩阵的包含性质,3. 模糊关系的合成,模糊关系合成的定义,例1：设生物群落论域,模糊关系的合成举例,表示X与U两生物群落种群之间的密切关系,表示U与Y两生物群落种群之间的密切关系,模糊关系的合成举例,则,表示生物群落X与Y之间的密切关系。,合成运算Example2,设R1为XY上的模糊关系,其隶属函数满足 设R2为YZ上的模糊关系,其隶属函数满足 试求R1、 R2的合成。,合成运算Example2,先求两曲线的交点，由,解得,（另一解舍去）,当 时,故,模糊关系合成运算的性质,性质1：结合律 (A B) C = A (B C)； 性质2：分配律 A ( BC ) = ( A B )( A C )； ( BC ) A = ( B A )( C A )； 性质3：( A B )T = BT AT； 性质4：A B，C D A C B D. 性质5：A B A C B C ， C A C B， A n B n,注：(1) 合成( )运算关于()的分配律不成立,即 ( AB ) C ( A C )( B C ) (2) 这些性质在有限论域情况下,就是模糊矩阵合成运算的性质.,模糊矩阵的合成运算与模糊方阵的幂,设A = (aik)ms，B = (bkj)sn，定义模糊矩阵A 与B 的合成为： A B = (cij)mn， 其中cij = (aikbkj) | 1ks .,模糊方阵的幂 定义：若A为 n 阶方阵，定义A2 = A A，A3 = A2 A，Ak = Ak-1 A.,模糊矩阵合成运算的性质,性质1（结合律）： 性质2： 性质3（分配律）可以推广到多个： 性质4（01律）：,性质5： 性质6：,模糊矩阵合成运算的性质,模糊矩阵合成运算的性质,合成运算的交运算的分配律不成立,注意,不满足交换律。,求：,的定义。,模糊矩阵合成举例,令,采用max-min合成,采用max-乘积合成,模糊矩阵合成举例,模糊矩阵的转置,定义 设A = (aij)mn, 称AT = (aijT )nm为A的转置矩阵，其中aijT = aji.,转置运算的性质：,性质1：( AT )T = A； 性质2：( AB )T = ATBT， ( AB )T = ATBT； 性质3：( A B )T = BT AT；( An )T = ( AT )n ； 性质4：( Ac )T = ( AT )c ； 性质5：A B AT BT .,证明性质3：( A B )T = BT AT；( An )T = ( AT )n .,证明：设A=(aij)ms, B=(bij)sn, A B=C =(cij)mn, 记( A B )T = (cijT )nm , AT = (aijT )sm , BT = (bijT )ns , 由转置的定义知, cijT = cji , aijT = aji , bijT = bji . BT AT= (bikTakjT )nm =(bkiajk)nm =(ajkbki)nm = (cji)nm = (cijT )nm= ( A B )T .,模糊矩阵的转置,模糊矩阵的截矩阵,模糊集合- 截集 模糊矩阵- 截矩阵 定义：设给定模糊矩阵R=(rij)，对任意 0,1，称R=(rij ()为R的截矩阵，其中,模糊矩阵的截矩阵,设,则：,模糊矩阵A的 截矩阵 对应于有限论域上的模糊关系的 截关系，显然， 的元素仅能是0或1，因此， 是布尔矩阵。,-截矩阵的性质,模糊矩阵A, B， 0,1，,性质2.,性质1.,性质3： 证明 设A=(aik)ms,B=(bkj)sn, A。B=(cij)mn,-截矩阵的性质,-截矩阵的性质,性质4：,-截矩阵的性质,4. 模糊等价矩阵,（1）普通等价关系,模糊等价关系,（2）模糊自反关系(fuzzy reflexive relations),定义,则称R为模糊自反关系.,命题1,根据主对角线元素是否为1判定R 是否自反,证明：,（3） 模糊对称关系(fuzzy symmetric relations),定义：,则称R为模糊对称关系.,根据矩阵是否为对称阵判定R 是否对称关系。,显然，,R为模糊对称关系.,命题2,证明：,（4）模糊传递关系(fuzzy transitive relations),定义,例如,命题3,（4）模糊传递关系(fuzzy transitive relations),命题4,设R是模糊传递的，,证明：,根据命题3知：R模糊传递.,由命题3知,（5）模糊等价关系(fuzzy equivalency relations),定义 若R是模糊自反、对称、传递关系，则称 R是一个模糊等价关系。,例如,R是对称阵且主对角线元素全为1，故为模糊对称及自反关系。,命题5: R为模糊等价关系当且仅当 是普通等价关系。,对模糊等价关系，,随着划分水平的提高，划分加细,模糊等价矩阵,定义1. 若模糊矩阵 A Mnn满足A I，则称A为自反模糊矩阵。 例如：,在有限论域中自反模糊矩阵表示一个自反模糊关系。,几个概念与定理,自反矩阵的定理,定理1. 设模糊矩阵 A Mnn是自反矩阵，则有 证明:,几个概念与定理,定义2： 包含R而又被任何包含R的自反矩阵包含的 自反矩阵叫R的自反闭包。记为r (R) .,定理2：,证：需证 （1） 为自反矩阵 ；（2）任意包含 R的自反矩阵必包含 。,为自反矩阵。,(2)设Q为任意包含R的自反矩阵，则,几个概念与定理,定义3：若模糊矩阵 A Mnn满足AT=A，则称A为模糊对称矩阵。 例如：,几个概念与定理,在有限论域中，模糊对称矩阵表示一个模糊对称关系。,几个概念与定理,定义4：R为模糊对称矩阵，包含R而又被任何包含R的 对称矩阵所包含的对称矩阵，叫做R的对称闭 包。记为S(R)。,为对称矩阵。,定义5： 若模糊矩阵 A Mnn满足 A2 A，则称A为模糊传递矩阵。 例如：,在有限论域中，模糊传递矩阵表示一个模糊传递关系。,几个概念与定理,几个概念与定理,定义6：R为模糊传递矩阵，包含R而又被任何包含R的 传递矩阵所包含的传递矩阵，叫做R的传递闭 包。记为t(R)。,R 的传递闭包t(R)具有下列性质：,（传递性）,（包含性）,（最小性）,性质表明：R的传递闭包是包含R的最小模糊传递矩阵。,定理4: 设模糊矩阵 A Mnn，则 其中，t(A)是传递闭包。,几个概念与定理,几个概念与定理,定理4证明：,需证（1）,是传递函数。,（2）对任意传递矩阵,（1） 因,所以，,是传递函数。,合成运算推广性质,几个概念与定理,（2） 设,为任意传递矩阵，且,因Q是传递矩阵，所以,从而有,即,由k的任意性得：,于是,上述定理给出了任意模糊矩阵的传递闭包的表达式，但无法操作。下面定理给出改进。,定理5： 设模糊矩阵 A Mnn，则 其中，t(A)是传递闭包。,几个概念与定理,上式表明:当A是n阶方阵时，至多用n次并运算便可求出A的传递闭包。,