应用泛函分析,E-mail:yangliswust.edu.cn,主讲：杨莉,第六节 有限维赋范空间,6.1 定理 如果X是数域F上有限维线性空间， 则X上任意两个范数是等价的.,6.2 系 任何一个有限维赋范空间都是完备 的，即是Banach空间；任一赋范空 间的有限维子空间必是闭子空间.,6.3 定义 如果赋范空间X到赋范空间Y上的 映射是一一对应，而且T和 都是连续 的，则T称为X到Y的同胚映射.,如果存在某一个X到Y上的同胚映射，,则称X和Y是同胚的. 如果 既是,同构，又是同胚，则称X和Y是拓扑同构,的.,6.4 定理 设X是有限维赋范空间，而Y是任 意的赋范空间.如 是线性算子， 则T是连续的.,6.5 定理 有限维赋范空间X中，有界闭集是紧集,6.6 Riesz引理 设Y是赋范空间X的真子空间，则,使得,且,6.7 定理 如果赋范空间X中的单位球面是紧集， 则X是有限维的.,系 对赋范空间，以下四者是等价的,X是有限维的；,2. X中单位球面是紧集；,3. X中单位闭球 是紧集；,4. X中所有的有界闭集是紧集.,第七节 线性泛函,7.1 定义,数域F上赋范空间 X 到 F 中的线性算子,称为线性泛函。当,实线性泛函。,时称为复线性泛函。,时称为,7.2定理 设,是赋范空间，,是线性泛函，,为连续的必要条件是,是闭集。,则,定理 如,是赋范空间，则,是Banach空间,第八节 Hahn-Banach定理,8.3 Hahn-Banach延拓定理 设,为赋范空间，,为,的子空间，,是定义在,上的有界线性泛函，,可以线性延拓到整个空间,数不变，即存在,上的有界线性泛函,以下条件：,，即当,时，,；,，其中,则,上，且保持范,，满足,8.4 系 如X是赋范空间，,线性无关子集，,是X中,的数，则存在,是任意给定,，使得,8.5 系 设X是赋范空间且,，则,且sup可达到，即,使得,8.7 系 若对 X 上所有的有界线性泛函 f 均有,，则,第十节 一致有界原理,10.1一致有界原理(共鸣原理) 设,是Banach空间,是赋范空间, 即,是,一族,中的有界线性算子,则,.,到,10.3 系 如X是Banach空间且,，则A有界，,当且仅当,10.5 Banach-Steinhaus 定理 设X是Banach空间，,Y是赋范空间，且 是 中序列，如果,使得, 则,使得, 且,第四章赋范空间与Banach 空间上的线性算子,第一节 算子序列的收敛性,第三节 紧线性算子 （全连续算子）,3.1 紧线性算子定义 设X,Y 都是赋范空间，,是线性算子，如果T将X中每一,有界集映成Y中的列紧集，则称T为紧线性,算子或全连续算子。,在有限维赋范空间上，任何线性算子都是有界的，把有界集映成有界集，而在有限维赋范空间中，任何有界集都是列紧集，因此定义在其上的线性算子都是紧线性算子。,在无穷维赋范空间X中，由于列紧集必是有界集，所以紧线性算子是有界的，但有界线性算子不一定是紧算子。,3.3 定理 如果,是紧线性算子，,则,系 如果,X为无穷维赋范空间，紧线性算子,不可能有定义在Y上的有界,均是紧线性算子。,逆算子。,第四节 开映射定理、 逆算子定理、闭图象定理,4.4 开映射 定义 设,和,都是赋范空间，映射,称为开映射，如果对,中每一个,，其象,是,中的开集。,开集,4.5 开映射定理 如果,都是Banach空间，,是连续线性满射，则,4.6 逆算子定理 设,是有界线性算子，且是一一对应,有界。,是开映射。,都是Banach空间，,的，则,4.8 定义 设,是集合,到集合,中的映射，,中集合,称为映射（算子）,的图象。,则,4.9 定义 设,是赋范空间，,，,称为闭算子，如果,的图象,是,中的闭集。,4.10 闭图象定理 设,都是Banach空间，,是闭线性算子（即,是闭集），则,是连续的。,线性且图象,