第二章 章末总结/阶段复习课,圆锥曲线定义的应用 【技法点拨】 圆锥曲线定义的应用技巧 （1）在求点的轨迹问题时，若所求轨迹符合圆锥曲线的定义，则根据其直接写出圆锥曲线的轨迹方程.,（2）焦点三角形问题，在椭圆和双曲线中，常涉及曲线上的点与两焦点连接而成的“焦点三角形”，处理时常结合圆锥曲线的定义及解三角形的知识解决. （3）在抛物线中，常利用定义，以达到“到焦点的距离”和“到准线的距离”的相互转化.,【典例1】(1)一动圆与两圆：x2+y2=1和x2+y2-6x+5=0都外切，则动圆圆心的轨迹为( ) （A）抛物线 （B）双曲线 （C）双曲线的一支 （D）椭圆,(2)（2011辽宁高考）已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是 该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的 距离为( ) （A） （B）1 （C） （D）,【解析】(1)选C.x2+y2=1是以原点为圆心,半径为1的圆，x2+ y2-6x+5=0化为标准方程为（x-3）2+y2=4，是圆心为A（3,0）， 半径为2的圆.设所求动圆圆心为P，动圆半径为r,如图，则 符合双曲线的定义,结合图形可知，动圆圆心的轨迹为双曲线的一支.,(2)选C.过A，B分别作准线l的垂线AD，BC，垂足分别为D，C，M是线段AB的中点，MN垂直准线l于N，由于MN是梯形ABCD的中位线，,x,y,B,C,D,N,O,A,F,所以 由抛物线的定义知|AD|BC|AF|BF|3，所以|MN| 又由于准线l的方程为 所以线段AB中点到y轴的距离 为 故选C.,【思考】解答题1的注意问题及解答题2的关键点. 提示：（1）解答题1应注意由双曲线的定义判断是双曲线的一支还是双曲线. （2）解答题2的关键点是作出图形后再利用抛物线的定义构造几何图形求解.,圆锥曲线的方程 【技法点拨】 1.求圆锥曲线方程的一般步骤 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤. (1)定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.,(2)定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m0,n0). (3)定量由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.,2.求椭圆、双曲线的标准方程 最常用方法为定义法、待定系数法，求解时注意有两个定形条 件(如已知a，b，c，e中的任意两个)和一个定位条件(对称轴、 焦点或准线等)对于双曲线要注意双曲线 与渐近线 的关系，这两条渐近线方程可以合并表示为 一般地，与双曲线 有共同渐近线的双曲 线方程是,3.求抛物线标准方程 需一个定位条件（如顶点坐标、焦点坐标或准线方程），以及一个定形条件（即已知p）,4.几个注意点 （1）在求解对应圆锥曲线方程时，还要特别注意隐含条件，如双曲线有c2=a2+b2，椭圆有a2=b2+c2. （2）“求轨迹方程”和“求轨迹”是两个不同概念，“求轨迹”除了首先要求我们求出方程，还要说明方程轨迹的形状，这就需要我们对各种基本曲线方程和它的形状的对应关系了如指掌.,【典例2】(1)已知点P(3，-4)是双曲线 渐近线上的一点，E，F是左、右两个焦点，若 则双 曲线方程为( ) （A） （B） （C） （D） (2)（2011新课标全国高考）在平面直角坐标系xOy中，椭圆 C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为 过F1的直 线l交C于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么C的方程为_,【解析】(1)选C.不妨设E（-c,0），F（c,0），则 （3+c,-4）（3-c,-4）=25-c2=0，所以c2=25.可排除A、B. 又由D中双曲线的渐近线方程为 点P不在其上，排除D, 故选C. (2)设椭圆方程为 因为离心率为,所以 解得 即a22b2. 又ABF2的周长为AB+AF2+BF2 AF1+BF1+BF2+AF2 （AF1+AF2）+（BF1+BF2） 2a2a4a，,所以4a16，a4，所以 所以椭圆方程为 答案：,【想一想】解答题1的方法有哪些？解答题2的关键点是什么？ 提示：（1）解答题1可利用排除法，也可利用待定系数法直接求解. （2）解答题2的关键点是将过焦点的三角形的边利用椭圆定义转化为与长轴长2a的关系.,圆锥曲线的性质及应用 【技法点拨】 圆锥曲线性质的求解方法 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，主要指图形的范围、对称性，以及顶点坐标、焦点坐标、中心坐标、离心率、准线、渐近线以及几何元素a，b，c，e之间的关系等,1离心率 求离心率时一定要尽量结合曲线对应图形，寻找与a，b，c有 关的关系式. 对于求椭圆和双曲线的离心率，有两种方法： （1）代入法就是代入公式 求离心率；（2）列方程法就 是根据已知条件列出关于a,b,c的关系式，然后把这个关系式 整体转化为关于e的方程，解方程即可求出e值.,2.范围 解答范围问题时特别注意题中隐含的不等关系，如曲线方程中x,y的范围.常用方法也有两个.（1）解不等式法，即根据题设条件列出关于待求量的不等式，解不等式即得其取值范围；（2）求函数值域法，即把待求量表示成某一变量的函数，函数的值域即为待求量的取值范围.,3.最值 圆锥曲线中的最值问题主要有与圆锥曲线有关的线段长度、图形面积等.研究的常见途径有两个：（1）利用平面几何中的最值结论；（2）把几何量用目标函数表示出来，再用函数或不等式知识求最值.建立“目标函数”，借助代数方法求最值，要特别注意自变量的取值范围.,【典例3】（2011福建高考）设圆锥曲线C的两个焦点分别为 F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|F1F2|PF2|4 32，则曲线C的离心率等于( ) （A） （B） （C） （D）,【解析】选A.设|F1F2|2c(c0)， 由已知|PF1|F1F2|PF2|432， 得 且|PF1|PF2|， 若圆锥曲线C为椭圆，则2a|PF1|PF2|4c， 离心率 若圆锥曲线C为双曲线， 则 离心率,【归纳】解答本题的注意点. 提示：解答本题对已知条件利用时，要分类讨论，同时注意对椭圆及双曲线定义的理解.,直线与圆锥曲线 【技法点拨】 1.直线与圆锥曲线交点问题的解题思路 直线与圆锥曲线的位置关系的研究可以转化为相应方程组的解 的讨论，即联立方程组 通过消去y(也可以消去x)得到x的方程ax2,bxc0进行讨论.这时要注意考虑a0和a0两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况除a0，0外，直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行或重合时，都只有一个交点(此时直线与双曲线、抛物线属相交情况).,2.中点弦问题的常规处理方法 (1)通过方程组转化为一元二次方程，结合根与系数的关系及中点坐标公式进行求解； (2)点差法，设出两端点的坐标，利用中点坐标公式求解； (3)中点转移法，先设出一个端点的坐标，再借助中点设出另一个端点的坐标，而后消去二次项.,3.直线与圆锥曲线相交弦长的求解方法 利用弦长公式求解：直线l:y=kx+b与圆锥曲线交于A（x1,y1）、 B（x2,y2），则弦长为,(1)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接利用两点间距离公式求解. (2)利用圆锥曲线的定义求解：求经过圆锥曲线的焦点的弦的长度，应用圆锥曲线的定义，转化为两个焦半径之和求解.,【典例4】已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点. （1）求椭圆C的方程； （2）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.,【解析】（1）依题意，可设椭圆C的方程为 且可知左焦点为F（-2,0）. 从而有 解得 又a2=b2+c2,所以b2=12, 故椭圆C的方程为,（2）不存在.假设存在符合题意的直线l，其方程为 由 得3x2+3tx+t2-12=0, 因为直线l与椭圆C有公共点， 所以=（3t）2-43（t2-12）0, 解得,另一方面，由直线OA与l的距离d=4可得 从而 由于 所以符合题意的直线l不存在.,【归纳】本题考查了哪几种能力？解题中容易忽视的地方是什么？ 提示：本题主要考查了运算求解能力、推理论证能力，解题中容易忽略0,而导致出错.,分类讨论思想 【技法点拨】 分类讨论思想的认识及应用 分类讨论思想，实际上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略.分类讨论时应注意理解和掌握分类的原则、方法和技巧，做到确定对象的全体，明确分类的标准，不重不漏地讨论.,【典例5】椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率 已知点 到这个椭圆上点的最远距离为 求这个椭圆方 程，并求椭圆上到点P的距离为 的点的坐标. 【解析】设椭圆方程为 由a2=b2+c2得a=2b,故椭圆方程可化为 设M（x,y） 是椭圆上任意一点，则x2=4b2-4y2.,-byb（讨论 与-b,b间的关系）， 若 则当 时， 若 则当y=-b时，,矛盾. 综上所述b=1,故所求椭圆方程为: 时， 椭圆上到P点的距离为 的点有两个，分别为,【思考】分类讨论解题的一般步骤是怎样的？ 提示：分类讨论解题的一般步骤为： 确定分类标准及对象； 进行合理地分类； 逐类进行讨论； 归结各类结果.,1.方程2x2-5x+2=0的两个根可分别作为( ) （A）一椭圆和一双曲线的离心率 （B）两抛物线的离心率 （C）一椭圆和一抛物线的离心率 （D）两椭圆的离心率,【解析】选A.方程2x2-5x+2=0的两个根分别为 又由椭圆离 心率大于0小于1，双曲线离心率大于1，抛物线离心率等于1可 得，选A.,2.椭圆 与双曲线 有相同的焦点，则a的值 是( ) （A）2 （B）1 （C） （D）3 【解析】选B.因椭圆 与双曲线 有相同的焦 点，所以有0a2且4-a2=a+2得a2+a-2=0，得a=1.,3.求过定点A（-5,0）且与圆x2+y2-10x-11=0相外切的动圆的 圆心轨迹是( ) （A） （B） （C） （D）,【解析】选B.x2+y2-10x-11=0化为标准形式是（x-5）2+y2= 36，则圆心为B（5,0）,半径为6，设动圆的圆心为M（x,y）， 则当两圆外切时，有MB=6+MA，则MB-MA=6， 符合双曲线定义，M为双曲线左支，其中2a=6,2c=10，则b=4， 所以双曲线方程为,4.（2012新课标全国高考）等轴双曲线C的中心在原点，焦 点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|= 则C的实轴长为( ) （A） （B） （C）4 （D）8 【解析】选C.设双曲线的方程为 抛物线的准 线为x=-4，且 故可得 将点A坐 标代入双曲线方程得a2=4，故a=2，故实轴长为4.,5.已知椭圆中心在原点，一个焦点为 且长轴长是短 轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是_ 【解析】依题意，得 2a22b，即a2b，又a2b2 c2，解之得a4，b2.椭圆标准方程为 答案：,6.设双曲线： 的焦点为F1，F2，离心率为2，则 双曲线的渐近线方程是_. 【解析】由已知双曲线的离心率为2得, 解得a2=1， 代入双曲线方程 中得， 所以渐近线方程为 答案：,