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1.离散型,2.连续型,3.Y= g(X),4.Z=g(X,Y),下页,数学期望定义(复习),数学期望性质(复习),性质1 E(C)= C (C为常数),性质2 E(CX)= C E(X) (C为常数),性质3 E(X+Y)= E(X)+E(Y),性质4 设X,Y是两个相互独立的随机变量,则有 E(XY)= E(X)E(Y),特别 E(E(X)= E(X),下页,4.2 方 差,0. 方差概念的引入,随机变量的数学期望是一个重要的数学特征,反应了随机变量取值的平均大小,但只知道随机变量的数学期望是不够的.,引例1:从甲、乙两车床加工的零件中各取件,测得尺寸如下:甲:8,9,10,11,12; 乙:9.6,9.8,10,10.2,10.4 已知标准尺寸为10(cm),公差d=0.5cm, 问那一台车床好?,以X甲 ,X乙分别表示甲、乙两车床加工零件的长度.易得:E(X甲) =E(X乙)10。虽然甲乙车床加工零件的均值相等,但其零件的质量有显著 差异,甲加工的零件只有件合格,乙加工全合格.,考虑 E(|X-E(X)|)E(X-E(X)2,下页,引例2有甲、乙两人射击,他们的射击技术用下表给出.X表示甲击中环数,Y表示乙击中环数,谁的射击水平高?,解:,=9.2(环),=9.2(环),因此,从平均环数上看,甲乙两人的射击水平是一样的,但两人射击水平的稳定性是有差别的。,这表明乙的射击水平比较稳定.,下页,偏离期望平方的期望,定义 设X是随机变量,如果EXE(X)2存在,则称EXE(X)2为X的方差,记为D(X)即,1. 方差的概念,并称 为X的标准差或均方差记为(X) 。,D(X)=EXE(X)2,其中PX=xk=pk k=1,2,3,.,连续型随机变量,离散型随机变量,2.方差的计算,下页,= E(X2)- E(X)2,3. 方差计算公式,公式,证明:,D(X)= EX - E(X)2,= EX2 - 2XE(X)+ E(X)2,= E(X2)- 2E(X)E(X)+ E(X)2,例1设随机变量 X(0-1)分布,其概率分布为PX=1= p,PX=0=q,0p1,p+q=1,求D(X),解:因 E(X)= p, 而 E(X 2)= 12p + 02q = p,于是 D(X)= E(X 2)- E(X)2 = p - p2 = p q。,下页,例2设随机变量X具有概率密度,求D(X).,所以,解:,下页,4. 常见分布的期望与方差,1) 0 -1分布 概率分布为,E(X)= 1 p + 0 (1-p) = p,2) 二项分布 设随机变量XB(n,p),其概率分布为:,D(X)= E(X2)-E(X)2= p-p2 = p(1-p) = pq,下页,2) 二项分布 设随机变量XB(n,p),其概率分布为:,D(X)=E(X2)- E(X)2,所以 D(X)=E(X2)- E(X)2 = n(n -1)p2 +np - n2p2 = npq,下页,4. 常见分布的期望与方差,3) 泊松分布 设随机变量X(),其概率分布为:,,k = 0,1,2,3,0,下页,4. 常见分布的期望与方差,3) 泊松分布 设随机变量X(),其概率分布为:,,k = 0,1,2,3,0,D(X)=E(X2)- E(X)2,因此, D(X)= E(X2)- E(X)2 =2 +-2 =,下页,4) 均匀分布 设X Ua,b 概率密度为:,4. 常见分布的期望与方差,下页,5) 指数分布 设X E() 概率密度为:,4. 常见分布的期望与方差,故,,下页,,(x+),令,6) 正态分布 设XN(,2)概率密度为:,4. 常见分布的期望与方差,下页,,(x+),6) 正态分布 设XN(,2)概率密度为:,4. 常见分布的期望与方差,下页,5. 方差的性质,性质1 D(C)= 0,性质2 D(CX)= C 2 D(X),性质3 D(X+C)= D(X),D(aX+b)= a2 D(X),性质4 若X,Y是两个相互独立的随机变量,则有D(X+Y)= D(X)+D(Y),性质5 D(X)= 0 的充要条件是P X = E(X) =1,推广 若X1,X2,Xn相互独立,则D(X1+X2+Xn) =,方差的性质 (下设a,b,C均为常数),下页,证明:(2) D(CX) = E CX - E(CX)2 = C2 EX - E(X)2 = C2 D(X),(3) D(X+C)= E(X+C)- E(X+C)2= EX E(X)2= D(X),而 EX-E(X) Y-E(Y) = EXY - E(X)Y - E(Y)X + E(X)E(Y),= E(XY)-E(X)E(Y)-E(X)E(Y)+E(X)E(Y),= E(XY)- E(X)E(Y),由于 X,Y相互独立,故有 E(XY)= E(X)E(Y),从而有 EXE(X)YE(Y)= 0,(4) D(X+Y) = E(X+Y)-E(X+Y)2= EX-E(X)+Y-E(Y)2= EX-E(X)2+ EY-E(Y)2+ 2EX-E(X)Y-E(Y)= D(X)+D(Y) + 2EX-E(X)Y-E(Y),,于是 D(X+Y)= D(X)+D(Y),练习:若X,Y相互独立,证明 D(X-Y)= D(X)+D(Y)。,下页,D(X)=D(X1+X2+Xn),令,i=1,2,n,显然 Xi 均服从(0-1)分布, 即 E(Xi)= p, D(Xi) = pq(i =1,2,n),且 X1,X2,Xn相互独立。,于是 E(X)= E(X1+X2+Xn),= E(X1)+E(X2)+E(Xn)= np,=D(X1)+D(X2)+D(Xn)= npq,解:,则 X= X1+X2+Xn,(注意:以上是新方法的立意和核心!),例3在 n 重贝努里试验中,用 X 表示 n 次试验中事件A 发生的次数,记P(A)= p,求E(X),D(X) 本题旨在给出一种新的解题方法,下页,例4.,解:,下页,因为,从而,下页,小 结,D(X)=EX-E(X)2,1.方差的定义与计算,3.常见分布的期望与方差,2.D(X)的性质(),下页,练习,1.设X表示独立射击目标10次所击中目标的次数,每次击中的概率 为0.4则 E(X2)=( ),2.随机变量X服从参数为的指数分布,则 E(X+e-2X)= ( ).,3.随机变量X与Y独立,且XN(1,2),YN(0,1),则 Z=2X-Y+3的期望与方差分别为( ),二、单选题,一、填空题,设X和Y是两个随机变量,则下式正确的是( ),三、计算题*,设有n个同样的盒子和n个同样的小球分别编号为1,2,3,,n 将n个球随机地放入n个盒子中去,每个盒子放一个球,求与盒子 编号相同的小球数的数学期望,下页,作业: 98页 8, 9, 10, 11,12,结束,前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差,对于多维随机变量,反映分量之间关系的数字特征中,最重要的,就是本讲要讨论的“协方差和相关系数”.,4.4 协方差和相关系数,下页,任意两个随机变量X和Y的协方差,记为Cov(X,Y), Covariance 定义为, Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y), Cov(X,Y)= Cov(Y,X),一、协方差,2.简单性质, Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b是常数,Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) ,1.定义,下页,Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y),可见,若X与Y独立, Cov(X,Y)= 0 .,3. 计算协方差的一个简单公式,由协方差的定义及期望的性质,可得,Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) ,=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y),=E(XY)-E(X)E(Y),即,下页,若X1,X2, ,Xn两两独立,,上式化为,D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y),4. 随机变量和的方差与协方差的关系,下页,二、相关系数,为随机变量X和Y的相关系数 .,在不致引起混淆时,记 为 .,下页,例1.,求Cov(X,Y) ,XY,解:,E(X) = 2 , E(Y) = 2;,E(X2) = 9/2 , E(Y2) = 9/2,D(X) =1/2 , D(Y) = 1/2,E(XY) =,Cov(X,Y) = 23/6 4 = - 1/6 ;, ,1/4,1/2,1/4,1)相关系数的计算,下页,例2. 设随机变量X的方差D( X )且Y=aX+b(a), 求X和Y的相关系数XY .,解:,下页,2. X和Y独立时, =0,但其逆不真.,由于当X和Y独立时,Cov(X,Y)= 0.,故,= 0,请看下例.,2)相关系数的性质及其与独立性的关系,下页,例3. 设X服从(-1/2, 1/2)内的均匀分布,而 Y=cos (X),求X,Y的相关系数.,因而 =0,,即X和Y不相关 .,但Y与X有严格的函数关系,,即X和Y不独立 .,解:不难求得 Cov(X,Y)=0.,相关系数刻划了X和Y间“线性相关”的程度.,下页,但对下述情形,独立与不相关等价,显然,若X与Y独立,则X与Y不相关,,但由X与Y不相关,不一定能推出X与Y独立.,下页,例4设(X,Y)服从二维正态分布,求X,Y的相关系数.,解:X,Y的联合密度f(x,y)及边缘密度 fX(x), fY(y) 如下:,下页,例5(X,Y)的概率密度如下,试证X与Y既不相关也不相互独立.,因fX(x)fY(y)f(x,y),故X与Y不相互独立.,证明:(1) 因为,同样 E(Y)=0,于是 XY= 0 ,所以 X与Y不相关。,(2),下页,4.5 矩和协方差矩阵,设X是随机变量,若,称它为X的k阶原点矩.,称它为X的k阶中心矩.,显然,期望是X的一阶原点矩, 方差是X的二阶中心矩.,下页,协方差Cov(X,Y)是X和Y的 二阶混合中心矩.,称它为X和Y的k+L阶混合(原点)矩.,称它为X和Y的k+L阶混合中心矩.,可见,,下页,协方差矩阵的定义,将二维随机变量(X1,X2)的四个二阶中心矩,排成矩阵的形式:,称此矩阵为(X1,X2)的协方差矩阵.,下页,类似定义n维随机变量(X1,X2, ,Xn) 的协方差矩阵.,为(X1,X2, ,Xn) 的协方差矩阵,称矩阵,下页,例6.,解:,下页,下页,从而,下页,作业: 98页 13,14,15, 16, 17 , 18,结束,
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