勾股定理（一）,天马行空官方博客：http:/t.qq.com/tmxk_docin ；QQ:1318241189；QQ群：175569632,在1876年一个周末的傍晚,美国华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨.由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么,只见一个小男孩正俯着身子，用树枝在地上画一个直角三角形，于是伽菲尔德便问，他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别是和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为和，那么这个直角三角形的斜边长又是多少呢？”伽菲尔德不假思索地回答到：“那斜边的平方，一定等于5的平方加上7的平方”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。,天马行空官方博客：http:/t.qq.com/tmxk_docin ；QQ:1318241189；QQ群：175569632,c,b a,c2 = (a b)2 + 4(ab)= a2 2ab + b2 + 2ab c2 = a2 + b2,a,b,弦图,赵爽 东汉末至三国时代吴国人 为周髀算经作注，并著有勾股圆方图说。,小孩问：,、如果直角三角形两直角边是整数，斜边一定是整数吗？,(a + b)(b + a) = c2 + 2(ab)a2 + ab + b2 = c2 + ab a2 + b2 = c2,a,a,b,b,c,c,伽菲尔德经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法1876年4月1日，伽菲尔德在新英格兰教育日志上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就称这一证法称为“总统”证法。,小结,本节课学到了什么数学知识？ 你了解了勾股定理的发现和验证方法了吗？,证明一,证明一,证明一,证明一,证明一,几何原本,欧几里得（Euclid of Alexandria; 約 325 B.C. 約 265 B.C.）,欧几里得几何原本是用公理方法建立演绎数学体系的最早典范。 证明一就是取材自几何原本第一卷的第 47 命题。,证明二,b,a,(a + b)2 = c2 + 4(ab)a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab a2 + b2 = c2,c,证明二,c,b a,c2 = (a b)2 + 4(ab)= a2 2ab + b2 + 2ab c2 = a2 + b2,弦图,赵爽 东汉末至三国时代吴国人 为周髀算经作注，并着有勾股圆方图说。,证明三,(a + b)(b + a) = c2 + 2(ab)a2 + ab + b2 = c2 + ab a2 + b2 = c2,a,a,b,b,c,c,美国总统的证明,加菲尔德 （James A. Garfield； 1831 1881）,1881 年成为美国第 20 任总统 1876 年提出有关证明,证明二及证明三的比较,两个证明基本上完全相同！,a2,b2,证明四,证明四,证明四,证明四,证明四,c2, a2 + b2 = c2,出入相补,刘徽（生於公元三世紀）,三国魏晋时代人。 魏景元四年（即 263 年）为古籍九章算术作注释。 在注作中，提出以出入相补的原理来证明勾股定理。后人称该图为青朱入出图。,拼图游戏,拼图游戏,证明五,c2,证明五,证明五,证明五,a2,b2, a2 + b2 = c2,无字证明,sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a,印度婆什迦罗的证明, c2 = b2 + a2,证明六,注意： 面积 I :面积II :面积III = a2 : b2 : c2,证明六,I,II,III,注意： 面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2,证明六,I,II,III,注意： 面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2,证明六,注意： 面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2,证明六,注意： 面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2,证明六,注意： 面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2,证明六,注意： 面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2,由此得，面积 I + 面积 II = 面积 III 因此，a2 + b2 = c2 。,