背包类动态规划问题,长沙市雅礼中学 朱全民,经典的背包问题（01背包）,有N件物品; 第i件物品Wi公斤; 第i件物品价值Ci元; 现有一辆载重M公斤的卡车; 问选取装载哪些物品，使得卡车运送的总价值最大？,搜索法,对于每种物品，要么装上卡车，要么不装，因此，N种物品的装箱方案共有2N种。 按每种物品进行搜索，方法如下： 对第i种物品进行搜索 如果所有的物品都搜索完，则更新最优解 如果当前的估计达不到最优解，则回溯 如果第i种物品能放，则放，并标记，否则选下一个物品 清除标记 回溯,动态规划,可以按每个物品进行规划，同样每种物品有选和不选两种选择 设F(i,j)表示前i件物品载重为j的最大效益，则有 1=i=N, 0=j=N 初值：F(0,j)=0 F(N,M)即答案 显然时间复杂度为O(NM),主程序如下,for i:=1 to m do f0,i:=0; /初始化 for i:=1 to n do fi,0:=0; for i:=1 to n do / 动态规划，递推求f for j:=1 to m do begin if j=wi then /背包容量够大 fi,j:=max(fi-1,j-wi+ci,fi-1,j) else /背包容量不足 fi,j:=fi-1,j; end;,满背包问题（01背包）,有N件物品; 第i件物品Wi公斤; 第i件物品价值Ci元; 现有一辆载重M公斤的卡车; 问选取装载哪些物品，使得卡车开车正好装满时，运送的总价值最大？ 若无法装满卡车，则输出无解。,动态规划,设F(i,j)表示前i件物品背包为j的最大效益，则有 1=i=N, 0=j=N 初值：F(0,j)=0， F(1,j)= - F(N,M)即答案 显然时间复杂度为O(NM),带条件的背包问题（1）,有N件物品; 第i件物品Wi公斤; 第i件物品价值Ci元; 第i件物品可能带02个附件； 若装载附件，必须装载主件，反之没有约束； 现有一辆载重M公斤的卡车; 问选取装载哪些物品，使得卡车运送的总价值最大？,分析,假设只有主件的情况 ，显然与经典背包问题完全相同！ 现在每个物品有附件，我们可以分成4种方案 仅装载主件 装载主件+第1个附件 装载主件+第2个附件 装载主件+2个附件 由于上述4种并列，这是几种不同的决策同时规划即可,动态规划,设F(i,j)表示前i件物品背包为j的最优解，则有， 1=i=N, 0=j=M 时间复杂度O(NM),多层背包问题,有N件物品; 第i件物品Wi公斤; 第i件物品价值Ci元; 现有一辆载重M公斤的卡车; 第i件物品限制最多只能取Xi个； 问选取装载哪些物品，使得卡车运送的总价值最大？,分析,我们可以类似01背包问题，将第i种物品拆分成xi个，这样每个物品只有1件了,如下图: 然后对所有的物品采用动态规划即可。 F(i,j)=max f(i-1,j-k*wi) + k*ci 0=k*wi=j,完全背包问题,有N件物品; 第i件物品Wi公斤; 第i件物品价值Ci元; 现有一辆载重M公斤的卡车; 每次可以选取某种物品的任意多件装载； 问选取装载哪些物品，使得卡车运送的总价值最大？,分析,类似多层背包问题将每个物品展开成Xi =m/wi个，然后对所有的物品采用动态规划即可。 若两件物品i、j满足ci=wj,则将物品i去掉,不用考虑。这个优化的正确性显然：任何情况下都可将价值小费用高的j换成物美价廉的i,得到至少不会更差的方案。 由于每种物品有选和不选两种情况，可以将每种物品的2k个当成一个整体考虑。这样对于某种物品要选取多个，都可以由若干个2k个物品进行组合 (即2进制数)。例如第i种物品要选10个，则10=23+21 。 这样第i种物品的个数为k=2 (m/wi)物品，是一个很大的改进。 进一步, 在计算k时, K =2 (j/wi), j为当前背包剩余空间。,进一步,for i:=1 to n do / 动态规划，递推求f for j:=m downto 1 do begin if j=wi then /背包容量够大 fi,j:=max(fi-1,j-wi+ci,fi-1,j) else /背包容量不足 fi,j:=fi-1,j; end; 在这里为了使得每个物品只取1个或不取,采用了每次取j都是与i-1进行比较，实际上保存了每1步取不同j的值,改进程序,事实上，我们只关心剩余背包的最大值，也就是仅仅关心f(j),因此，在对f(j)更新时，只要背包容量可以，那么可以反复更新。程序如下： for i:=1 to n do / 动态规划，递推求f for j:=0 to m do begin if j=wi then /背包容量够大 fj:=max(fj-wi+ci,fj) end;,思考题1：机器分配,M台设备，分给N个公司。 若公司i获得j台设备，则能产生Aij效益 问如何分配设备使得总效益最大？ M=15，N=10。,分析,用机器数来做状态，数组f(i,j)表示前i个公司分配j台机器的最大盈利。则状态转移方程为: f(i,j) =Maxfi-1，k + ai，j-j (1=i=N,1=j=M,0=k=j ) 初始值: f(0,0)=0 时间复杂度O(N*M2),思考题2：硬币找零,给定N枚硬币 给定T元钱 用这N枚硬币找这T元钱，使得剩下的钱最少。 剩下钱数最少的找零方案中的所需的最少硬币数。 N=500,T=10000.,分析,设Fi表示需要找的钱数为i时所需要的最少钱币数。显然有： Fi=MinF i - Aj + 1 i T，1jN 初始值：F0=0。 Aj表示其中 第j种钱币的面值。 时间复杂度为O(N*T)。,思考题3：系统可靠性,一个系统由若干部件串联而成，只要有一个部件故障，系统就不能正常运行，为提高系统的可靠性，每一部件都装有备用件，一旦原部件故障，备用件就自动进入系统。显然备用件越多，系统可靠性越高，但费用也越大，那么在一定总费用限制下，系统的最高可靠性等于多少？ 给定一些系统备用件的单价Ck，以及当用Mk个此备用件时部件的正常工作概率Pk（Mk），总费用上限C。求系统可能的最高可靠性。,样例,输入文件格式： 第一行：n C 第二行：C1 P1(0) P1(1) P1(X1) （0=X1=C/Ck） 第n 行：Cn Pn(0) Pn(1) Pn(Xn) （0=Xn=C/Cn） 输入：2 20 3 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 5 0.7 0.75 0.8 0.8 0.9 0.95 输出：0.6375,分析,设f(i,j)表示将j的资金用到前i项备用件中去的最大可靠性，则有 F(i,j)= maxF(i-1,jk*Costi)*Pi,k 0=i=n, 0=j=C,0=kj div Cost(i) 初始： F(0,0)=0 目标： F(n,C) 时间复杂度：O(k*n*C)，这里k是常数因子，与数据相关,思考题4：快餐问题,套餐由由A个汉堡，B个薯条和C个饮料组成 生产汉堡、薯条、饮料的时间为p1,p2,p3 有N条流水线，N=10，第i条流水线生产时间为Ti 每条流水线都可生产汉堡、薯条和饮料 每天汉堡、薯条和饮料个数不超过100 如何安排生产使得生产套餐数量最多。,分析,对于每条流水线，它的生产时间是一定的，我们如果知道了生产汉堡和薯条的个数，就很容易计算出生产饮料的个数。因此， 假设第i条流水线生产了i个汉堡，j个薯条,那么还能生产饮料个数为： k=(Ti-i*p1-j*p2)/p3,动态规划,设f(x,i,j)表示前x条流水线生产i个汉堡，j个薯条最多还能生产饮料个数。 如果前x-1条流水线只要生产i汉堡，j个薯条，生产的饮料为f(x-1,i,j) 因此有第x条流水线必须生产了i-i个汉堡，j-j个薯条，剩下的时间生产k个饮料。 因为前x条流水线生产的饮料= 前x-1条流水线生产的饮料 + 第x条流水线生产的饮料 所以有，f(x,i,j)=maxf(x-1,i,j)+k,流水线资源分配图,思考？,f(x,i,j)=maxf(x-1,i,j)+k 1=x=n=10,0=i=i=100, 0=j=j=100 k可以实时求出 时间复杂度为10*1002*1002=109 显然超时！,优化,求出最多可能生产多少套，减少不必要循环。 淘汰一些没有意义状态，比如生产了过多第三种物质，却没把前两种生产满。 让每条流水线大多数时间按成套时间生产，留下一些时间进行动态规划，这样将在动态规划时，极大地减少每种物品的产量从而极大地减少动态规划的状态数。,说明,利用前两个优化基本可以出解 第3个优化，对每条流水线进行动态规划的剩余时间多少比较难确定，否则正确性难以保证，剩余时间越多，正确率越高，速度越慢。下图是对第3个优化的说明：,总结,第1步：采用优化方法3，将每条流水线的 部分时间按成套生产，设第i条流水线生产套餐Wi套，剩下的时间为Ti； 第2步，对每条流水线的剩下时间进行动态规划,并采用优化1，2； 第3步，求总套数 = 贪心总套数X + 动态规划的套数Y。 其中X,Y计算如下，,总结,对于资源类动态规划问题，我们可以看出，问题描述必须有一个基本要素：资源，有时这种资源可能是金钱、空间或者时间，问题就是要对这些资源如何分配，一种基本的想法是将资源应用于前i个阶段，然后考虑第i个阶段和前i-1个阶段之间的关系。 设前i个点的消耗j的资源得到的最优值，研究前i-1个点消耗的资源的最优值，利用第i个点决策转移，如下图。 状态转移方程一般可写成: fi(j) = min fi-1 ( k) + ui (j,k),