2.1 数列极限,第二章 极限与连续,本章是微积分的基础，主要讨论函数的极限与函数的连续性。,称为数列，,记为,其中 称为数列的通项或一般项；,正整数n称为 的下标。,例如：,Def:无穷多个按自然数编号1,2, 排列的一列数：,数列是自变量取正整数n的函数,(下标函数),（圆的面积）,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 边形的面积, , ,当 n 无限增大时,无限逼近 S.,(1)、割圆术： （刘徽割圆术）,数列极限概念的引入,(2)、截丈问题：,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”, ,这是极限思想在几何学中的运用。这样的极限方法为微积分学中的一种基本方法。, ,例,数列极限的定义：,解,一个记号，不可称极限存在,数列极限四则运算法则: (可推广到有限个情形),注意极限运算的条件，若不满足则将数列变形。,例,求下列数列极限：,解,(3) 由于,因为,根式有理化,(4) 由于,因此,(5) 由于,因此,例.求极限,(数列求和法),分析：由于项数随n的增大而不断增加，故不是有限项， 不能直接应用四则运算法则。,解,性质2.1,举例,定理2.1（夹逼定理）,性质2.2,性质2.3,数列极限存在定理：,解,(1) 由于,因此,注意到,由夹逼定理可得,(2) 注意到,定义2.1,定义2.2,举例,举例,从数轴上直观看：,定理2.2,单调有界数列必收敛.,例,证明,其次我们来证明数列,是单调递增数列，,数列,是单调递减数列.,事实上,由定理2.2 知道它们都收敛，且,