,Mathematics Laboratory,阮小娥博士,数学实验,办公地址：理科楼231 电话：82668539,实验 人口预测与数据拟合,2、掌握在最小二乘意义下数据拟合的理论和方法.,1、学会用MATLAB软件进行数据拟合,3、通过对实际问题的分析和研究，初步掌握建立数据拟合数学模型的方法,实验目的,据人口统计年鉴，知我国从1949年至1994年人口数据资料如下： (人口数单位为：百万),（1）在直角坐标系上作出人口数的图象。 （2）建立人口数与年份的函数关系，并估算1999年的人口数。,实验问题,如何确定a,b?,线性模型,1 曲线拟合问题的提法:,x,y,0,+,+,+,+,+,+,+,+,一、曲线拟合,确定f(x)使得,达到最小,最小二乘准则,. 用什么样的曲线拟合已知数据?,常用的曲线函数系类型：,画图观察； 理论分析,指数曲线：,双曲线（一支):,多项式：,直线：, 拟合函数组中系数的确定,clear clc x=1949:5:1994 y=541.67 602.66 672.09 704.99 806.71 908.59 975.42 1034.75 1106.76 1176.74 a11=sum(x.2); a12=sum(x); a21=a12; a22=10; d1=sum(x.*y); d2=sum(y); A=a11,a12;a21,a22 D=d1;d2 a1a2=inv(A)*D,二、人口预测线性模型,对于开始提出的实验问题, 代如数据，计算得,从而得到人口数与年份的函数关系为,把x=1999代如，估算出1999年的人口数为y=1252.1（百万）12.52亿,1999年实际人口数量为.亿。,线性预测模型,英国人口学家Malthus根据百余年的人口统计资料，于1798年提出了著名的人口自然增长的指数增长模型。,三、人口预测的Malthus模型,基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数,x(t) 时刻t 的人口, t=0时人口数为x0,指数增长模型,实际中，常用,1. 由前100年的数据求出美国的人口增长Malthus模型。,2. 预测后100年（每隔10年）的人口状况。,3. 根据预测的人口状况和实际的人口数量,讨论人口模型的改进情况。,例,解：,解方程组:, prog41.m % % This program is to predict the number of population % format long t1=1790;1800;1810;1820;1830;1840;1850;1860;1870;1880; t2=1890;1900;1910;1920;1930;1940;1950;1960;1970;1980; x1=3.9;5.3;7.2;9.6;12.9;17.1;23.2;31.4;38.6;50.2; x2=62.9;76.0;92.0;106.5;123.2;131.7;150.7;179.3;204.0;226.5; lnx1=log(x1); lnx2=log(x2);,a12=sum(t1);a11=10;a21=a12;a22=sum(t1.2); d1=sum(lnx1);d2=sum(lnx1.*t1); A=a11,a12;a21,a22;D=d1;d2; ab=inv(A)*D; for i=1:10 xx1(i)=exp(ab(1)+ab(2)*t1(i); end for i=1:10 xx2(i)=exp(ab(1)+ab(2)*t2(i); end plot(t1,x1,r*-,t1,xx1,b+-, t2,x2,g*-,t2,xx2,m+-);,a= -49.79535457790735 b=0.02859807120038,仿真结果表明： 人口增加的指数模型在短期内基本上能比较准确地反映人口自然增长的规律，但长期预测误差很大，需要修正预测模型。,拟合曲线,原始数据曲线,四、多项式拟合的Matlab指令,a = polyfit（xdata，ydata，n） 其中n表示多项式的最高阶数 xdata，ydata 为要拟合的数据，它是用向量的方式输入。 输出参数a为拟合多项式 y = a1xn + + anx + an+1的系数a = a1, , an, an+1。 多项式在x处的值y可用下面程序计算。 y = polyval (a, x),用多项式拟合人口模型,% This program is to predict the model of population by 4-degree polynomial% %prog42.m% format long t1=1790;1800;1810;1820;1830;1840;1850;1860;1870;1880; t2=1890;1900;1910;1920;1930;1940;1950;1960;1970;1980; t=t1;t2; P1=3.9;5.3;7.2;9.6;12.9;17.1;23.2;31.4;38.6;50.2; P2=62.9;76.0;92.0;106.5;123.2;131.7;150.7;179.3;204.0;226.5; P=P1;P2; n=4; % The degree of the fitting polynomial% a,s=polyfit(t1,P1,n); y=polyval(a,t); % a is the coefficients vector from n-degree to 0-degree% plot(t,P,r*-,t,y,b+-);,23,a =1.0e+006 *-0.000000000000140.00000000107892-0.000003048785950.00381927346813-1.79012132225427,仿真结果表明, 人口增加的模型用多项式拟合能比较准确地反映人口自然增长的规律，对长期预测具有指导意义。,例2: 海底光缆线长度预测模型,某一通信公司在一次施工中,需要在水面宽为20m的河沟底沿线走向铺设一条沟底光缆.在铺设光缆之前需要对沟底的地形做初,探测到一组等分点位置的深度数据如下表所示.,25,步探测,从而估计所需光缆的长度,为工程预算提供依据.基本情况如图所示.,(1) 预测通过这条河沟所需光缆长度的近似值.,(2) 作出铺设沟底光缆的曲线图.,解： 用12次多项式函数拟合光缆走势的曲线图如下,仿真结果表明,拟合曲线能较准确地反映光缆的走势图.,The length of the label is L= 26.3809 (m),假设所铺设的光缆足够柔软,在铺设过程中光缆触地走势光滑,紧贴地面,并且忽略水流对光缆的冲击.,% prog45.m This program is to fit the data by polynomial % format long t=linspace(0,20,21); x=linspace(0,20,100); P=9.01,8.96,7.96,7.97,8.02,9.05,10.13,11.18,12.26,13.28,13.32,12.61,11.29,10.22,9.15,7.90,7.95,8.86,9.81,10.80,10.93; a=polyfit(t,P,12); yy=polyval(a,x); plot(x,yy,r*-,t,P,b+-); L=0; for i=2:100L=L+sqrt(x(i)-x(i-1)2+(yy(i)-yy(i-1)2); end L,在一地区，我们经过10周时间从100个购物者那里收集了资料，资料中表明：所有某周内在甲超市购物过的顾客中，有90%在下周仍然继续在甲超市购物，而另外10%的人则转向了乙超市，同时在乙超市购物过的顾客中，有80%在下周仍然继续在乙超市购物，而另外20%的人则转向甲超市，若开始甲、乙两超市的市场占有率分别为80%和20%。根据资料预测两家超市的市场占有率。 市场占有率信息对于决策的制定非常有价值，例如，假设乙超市正在酝酿一场促销活动，以便将更多的甲超市的顾客吸引过来，假设乙超市这一促销可以使甲超市转向自己的概率从10%增加到15%，该地区每周有6000名顾客，如果超市每周从每名顾客那里平均得到利润20元钱，那么乙超市是否考虑实施促销活动？,对市场占有率的分析,实验问题,解，设第,周甲、乙两超市的市场占有率分别为,，则第,周两超市的市场占有率,即,其中,递推有,应用MLATLAB可得到在未来10周内两家超市的市场占有率。,程序为 A=0.9 0.2;0.1 0.8; x0=0.8;0.2; for n=1:10 xn=An*x0 end,未来10周市场占有率,从表1可以看出，随着,的越来越大，第,周的市场占有,周市场占有差距显然越来越小，下面分析,周后市场占有率，,率和第,若矩阵,可对角化，则可以利用矩阵对角,设与矩阵,相似的对角线矩阵为,则可求出可逆矩阵矩阵,，使得,则,从而有,化的方法来计算,，,syms n A=0.9 0.2;0.1 0.8; X0=0.8;0.2; P,tzzjz=eig(A); Xn=P*tzzjz.n*inv(P)*X0 结果为：Xn = 2/3+2/15*(7/10)n 1/3-2/15*(7/10)n,(7/10)n越来越趋近于0，则,越趋近于,从计算结果可以看出：随着,的越来越大，,可见，促销战略可以使乙超市市场占有率从1/3增到3/7，假如整个市场每周有6000名顾客，那么乙超市的顾客人数从2000名增加到2571。如果超市每周从每名顾客那里平均得到利润20元钱，那么这一计划的促销战略预期每周可以为乙超市增加11420元的利润，如果促销费用每周都少于11420元，那么乙超市就可以考虑实施这一战略。,假设乙超市这一促销可以使甲超市转向自己的概率从10%增加到15%，根据上述的方法可以得到 Xn = 4/7+8/35*(13/20)n 3/7-8/35*(13/20)n,作业,1 Page 95上机练习3 2 某投资者拟在A、B两城市间开设一家汽车租赁公司，租赁者可在两城中的任意城市租借或归还汽车。经试运行调查，在城A租汽车的顾客约有60在本城归还，而有40在B城归还；在城B租汽车的顾客约有70在本城归还，而有30在A城归还。(1)请预测该公司汽车的流向，该公司所拥有的汽车会最终流向其中的一个城市吗?(2)如果到两城市租赁点租车的人数大体相等，该公司应怎样经营? Page 95 综合练习题,实验报告要求Page 108 实验报告内容（任选一题） （1） 追击问题 （2） Page 95 综合练习题 （3） 上一页第2题 交实验报告时间为第16周一,实验5 行列式 矩阵与密法,(3)掌握逆距阵的一种应用:整数逆距阵加密与解密方法;,实验目的,(1)学会用MATLAB软件对矩阵进行一些数值计算;,(2)学会用MATLAB解线性方程组;,1. MATLAB软件对矩阵操作命令 a=1,2,3;4,5,6;7,8,0 %矩阵输入 （a为3阶矩阵） b=366;804;351 %列矩阵输入 D=det(a) %方阵行列式 r=rank(a) %计算矩阵a的秩 inv(a) %方阵的逆 x=ab %ax=b方程组的解 y=inv(a)*b %与x相同 eig(a) %计算矩阵a的特征值 v,D= eig(a) %计算矩阵a的特征值与特征向量 rref(a) %计算矩阵a的行最简形 reshape(A,m,n) %将矩阵A改写为m行n列的矩阵,