2018/10/17,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,1,2018年10月17日星期三,排列组合习题课,2018/10/17,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,2,例1.六本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？,（2）甲得一本，乙得两本，丙得三本；,（3）一人得一本，一人得两本，一人得三本；,（4）平均分给甲、乙、丙三人，每人两本；,（5）平均分成三堆，每堆两本；,1. 分组（堆）问题,（1）一堆一本，一堆两本，一堆三本；,练习：有四项不同的工程，要发包给三个工程队， 要求每个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同的发包方式？,（6）一堆四本，两堆各一本。,2018/10/17,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,3,要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列.,若干个不同的元素局部“等分”有 个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!,若干个不同的元素“等分”为 个堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!,非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积.,分组（堆）问题的六个模型：无序不等分；无序等分；无序局部等分；(有序不等分；有序等分；有序局部等分.),处理问题的原则：,1. 分组（堆）问题,2018/10/17,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,4,例2. 5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少种站法？,几个元素顺序一定的排列问题，一般是先排列，再消去这几个元素的顺序.或者，先让其它元素选取位置排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了.,2.消序法(留空法),解法1：将5个人依次站成一排，有,解法2：先让甲乙之外的三人从5个位置选出3个站好，有,种站法，,然后再消去甲乙之间的顺序数,甲总站在乙的右侧的有站法总数为,种站法，留下的两个位置自然给甲乙有1种站法,甲总站在乙的右侧的有站法总数为,2018/10/17,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,5,变式：如下图所示,有5横8竖构成的方格图,从A到B只能上行或右行共有多少条不同的路线?,解: 如图所示,将一条路经抽象为如下的一个排法(5-1)+(8-1)=11格:,其中必有四个和七个组成!,所以, 四个和七个一个排序就对应一条路经,所以从A到B共有,条不同的路径.,2.消序法(留空法),也可以看作是1,2,3,4,5,6,7,顺序一定的排列，有种排法.,2018/10/17,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,6,n个 相同小球放入m(mn)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.,例3. 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有_种.,3.剪截法（隔板法）：,解： 问题等价于把16个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.,将16个小球串成一串，截为4段有,种截断法，对应放到4个盒子里.,因此，不同的分配方案共有455种 .,2018/10/17,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,7,n个 相同小球放入m(mn)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.,变式： 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班的名额不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有_种.,3.剪截法：,解： 问题等价于先给2班1个，3班2个，4班3个，再把余下的10个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.,将10个小球串成一串，截为4段有,种截断法，对应放到4个盒子里.,因此，不同的分配方案共有84种 .,2018/10/17,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,8,4.剔除法,从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.,例4. 从集合0,1,2,3,5,7,11中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_条.,解：所有这样的直线共有 条，,其中不过原点的直线有 条，,所得的经过坐标原点的直线有210-18030条.,排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.,