1.6 行列式按行(列)展开,上页,下页,返回,首页,结束,铃,余子式与代数余子式,行列式按行(列)展开法则,补充例题,余子式与代数余子式在n阶行列式Ddet(aij)中 把元素aij所在的第i行和第j列划去后 剩下来的n1阶行列式叫做元素aij的余子式 记作Mij 记 Aij(1)i jMij Aij叫做元素aij的代数余子式,下页,A23(1)23M23M23,例如 已知,则a23的余子式和代数余子式为,引理在n阶行列式D中 如果第i行元素除aij外都为零 那么这行列式等于aij与它的代数余子式Aij的乘积 即 DaijAij,余子式与代数余子式在n阶行列式Ddet(aij)中 把元素aij所在的第i行和第j列划去后 剩下来的n1阶行列式叫做元素aij的余子式 记作Mij 记 Aij(1)i jMij Aij叫做元素aij的代数余子式,下页,定理3(行列式按行(列)展开法则)行列式等于它的任一行(列)各元素与其对应的代数余子式乘积的和 即Dai1Ai1ai2Ai2 ainAin (i=1 2 n) 或 Da1j A1ja2j A2j anj Anj (j=1 2 n),推论行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零 即ai1Aj1ai2Aj2 ainAjn 0 (ij) 或 a1i A1ja2i A2j ani Anj0 (ij),综合结论,下页,D=a13A13+a23A23+a33A33+a43A43,其中a13=3 a23=1 a33=-1 a43=0,例1 计算行列式,将D按第三列展开,解,所以,=-24,D=319+1(-63)+(-1)18+0(-10),应有,下页,注,行列式Dn称为n阶范德蒙行列式。,提示,第n1行乘a1加到第n行 第n2行乘a1加到第n1行 第n3行乘a1加到第n2行 ,提示,按第一列展开,提示,各列提出公因式,例2,下页,(a2a1)(a3a1)(ana1)(a3a2)(ana2)Dn2 ,例2,(a2a1)(a3a1)(ana1)Dn1,于是,Dn(a2a1)(a3a1)(ana1)Dn1,下页,相关结果,下页,行列式按第i行展开 得,将元素ai1换成b1 ai2换成b2 ain换成bn 得,相关结果,下页,如果第i行的元素为b1 b2 bn 则有,如果第j列的元素为b1 b2 bn 则有,解,按第三 列展开,c2c1,按第三 行展开,4,下页,解,M11M21M31M41,A11A21A31A41,0,r4r3,按第四 行展开,r12r3,结束,