导数与数列不等式的证明 收集整理:张亚争 联系电话:15936380010 1 / 2导数与数列不等式的证明导数与数列不等式的证明例例 1.1.已知函数( )ln3f xaxaxaR(1)讨论函数的单调性;)(xf(2)证明:*1111ln(1)()23nnNn(3)证明:*ln2 ln3 ln4 ln5ln12,2345nnnNnn(4)证明:* 22222ln2 ln3 ln4 ln5ln112,23452nnnnnNnn(5)证明:444442 * 44444ln2ln3ln4ln5ln(1)2,23454nnnnNnn(6)求证: 222222121ln2ln3ln.2,2321nnnnnNnn(7)求证:22221111111. 12482ne nN例例 2.2.已知函数( )ln1f xxx(1)求的最大值;( )f x(2)证明不等式:*12 1nnnnenNnnne例例 3.3.已知函数 2ln1f xxx(1)当时,求证:0x 3;f xx(2)当时,求证:nN333 11111511.23421nkfknn n 例例 4.4.设函数2( )ln(1)0f xxmxm(1)若,求的单调区间;12m )(xf(2)如果函数在定义域内既有极大值又有极小值,求实数的取值范围;)(xfm(3)求证:对任意的,不等式恒成立*Nn311lnnn nn例例 5.5.已知函数,( )ln(1)(1) 1()f xxk xkR(1)求函数的单调区间;( )f x(2)若恒成立,试确定实数的取值范围;( )0f x k(3)证明:.ln2ln3ln(1) 3414nn n n,1nN n导数与数列不等式的证明 收集整理:张亚争 联系电话:15936380010 2 / 2例例 6.6.已知函数的图像在点处的切线方程为)0()(acxbaxxf)1 (, 1 (f1 xy(1)用表示出;acb,(2)若在上恒成立,求的取值范围;xxfln)(), 1 a(3)证明:.) 1() 1(2) 1ln(1 31 211nnnnn例例 7.7.已知函数2( )2 ln1f xaxx(1)当时,求函数的单调区间及的最大值;1a ( )f x( )f x(2)令,若在定义域上是单调函数,求的取值范围;( )( )g xf xx( )g xa(3)对于任意的,试比较与的*2,nnN22222 ln2ln3ln4ln5lnn232 (1)nn n n 大小并证明你的结论例例 8.8.已知函数1 ln(1)( )(0)xf xxx(1)函数在区间上是增函数还是减函数?证明你的结论( )f x(0,)(2)当时,恒成立,求整数的最大值;0x ( )1kf xxk(3)试证明:23*(1 1 2)(12 3)(1 3 4)(1(1)().nnnenN 例例 9.9.已知函数 ln0f xxax a(1)若,求的单调区间及的最小值;1a f x f x(2)若,求的单调区间;0a f x(3)试比较的大小,并证明 222222121ln2ln3ln.2,2321nnnnnNnn与例例 10.10.已知函数, ln ,af xx g xxaRx(1)若时,恒成立,求实数的取值范围1x f xg xa(2)求证:ln2 ln3ln12,341nnnNnn例例 11.11.已知函数 2lnf xxxax(1)若函数在其定义域上为增函数,求的取值范围; f xa(2)设,求证:11nanNn 222 12123.ln12nnaaaaaannL例例 12.12.设各项为正的数列满足.求证:. na111,ln2,nnnaaaanN21n na