,二、 两个重要极限,一、函数极限与数列极限的关系及夹逼准则,第六节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,极限存在准则及,两个重要极限,第一章,一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则,1. 函数极限与数列极限的关系,定理1（Heine定理）.,有定义,为确定起见 , 仅讨论,的情形.,有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理1.,有定义,且,设,即,当,有,有定义 , 且,对上述 ,时, 有,于是当,时,故,可用反证法证明. (略),有,证：,当,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理1.,有定义,且,有,说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 .,法1 找一个数列,不存在 .,法2 找两个趋于,的不同数列,及,使,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 证明,不存在 .,证: 取两个趋于 0 的数列,及,有,由定理 1 知,不存在 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 数列极限存在的夹逼准则 (P49),证:,由条件 (2) ,当,时,当,时,令,则当,时, 有,由条件 (1),即,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 证明,证: 利用夹逼准则 .,且,由,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 函数极限存在的夹逼准则( 准则1),定理2.,且,( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,4. 单调有界数列必有极限 ( 准则2 ) ( P52 ),( 证明略 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,故极限存在，,例3.设, 且,求,解：,设,则由递推公式有,数列单调递减有下界，,故,利用极限存在准则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,圆扇形AOB的面积,二、 两个重要极限,证: 当,即,亦即,时，,显然有,AOB 的面积,AOD的面积,故有,注,注 目录 上页 下页 返回 结束,当,时,注,例4. 求,解:,例5. 求,解: 令,则,因此,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 求,解: 原式 =,例7. 已知圆内接正 n 边形面积为,证明:,证:,说明: 计算中注意利用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8. 设,证明数列,极限存在 . (P52P54),证: 利用二项式公式 , 有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大,大,正,又,比较可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,根据准则 2 可知数列,记此极限为 e ,e 为无理数 , 其值为,即,有极限 .,原题 目录 上页 下页 返回 结束,又,例8(续).,证: 当,时, 设,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当,则,从而有,故,说明: 此极限也可写为,时, 令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9. 求,解: 令,则,说明 ：若利用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,原式,例10. 求,解: 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的不同数列,内容小结,1. 函数极限与数列极限关系的应用,(1) 利用数列极限判别函数极限不存在,(2) 数列（函数）极限存在的夹逼准则,法1 找一个数列,且,使,法2 找两个趋于,及,使,不存在 .,(3) 单调有界原理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(4) 两个重要极限,