试卷第 1 页，总 74 页二次函数培优综合练习一1如图，已知抛物线 yx2bxc 经过 A(-1, 0)、B(4, 5)两点，过点 B 作 BCx 轴，垂 足为 C （1）求抛物线的解析式； （2）求 tanABO 的值； （3）点 M 是抛物线上的一个点，直线 MN 平行于 y 轴交直线 AB 于 N，如果以 M、N、B、C 为顶点的四边形是平行四边形，求出点 M 的横坐标【答案】 （1）y=x2-2x-3 （2）， （3）、1 933 5 233 5 235 235 2【解析】 试题分析：（1）将 A（-1，0）、B（4，5）分别代入 y=x2+bx+c 求出 b 和 c 的值即可；（2）过点 O 作 OHAB，垂足为 H，根据勾股定理可求出 AB 的长，进而得到：在RtBOH 中，tanABO= 221 299 2OH BH（3）设点 M 的坐标为（x，x2-2x-3），点 N 的坐标为（x，x+1），在分两种情况：当 点 M 在点 N 的上方时和当点 M 在点 N 的下方时，则四边形 NMCB 是平行四边形讨论 求出符合题意的点 M 的横坐标即可 试题解析：（1）将 A（-1，0） 、B（4，5）分别代入 y=x2+bx+c，得，101645bcbc 解得 b=-2，c=-3 抛物线的解析式：y=x2-2x-3 （2）在 RtBOC 中，OC=4，BC=5 在 RtACB 中，AC=AO+OC=1+4=5，AC=BCBAC=45，AB=225 2ACBC 如图 1，过点 O 作 OHAB，垂足为 H试卷第 2 页，总 74 页在 RtAOH 中，OA=1，AH=OH=OAsin45=1=，2 22 2BH=AB-AH=，29 25 222在 RtBOH 中，tanABO=221 299 2OH BH（3）直线 AB 的解析式为：y=x+1 设点 M 的坐标为（x，x2-2x-3） ， 点 N 的坐标为（x，x+1） ， 如图 2，当点 M 在点 N 的上方时，则四边形 MNCB 是平行四边形，MN=BC=5 由 MN=（x2-2x-3）-（x+1）=x2-2x-3-x-1=x2-3x-4，解方程 x2-3x-4=5，得 x=或 x=33 5 233 5 2如图 3，当点 M 在点 N 的下方时，则四边形 NMCB 是平行四边形，NM=BC=5试卷第 3 页，总 74 页由 MN=（x+1）-（x2-2x-3）=x+1-x2+2x+3=-x2+3x+4，解方程-x2+3x+4=5，得 x=或 x=35 235 2所以符合题意的点 M 有 4 个，其横坐标分别为：、33 5 233 5 235 235 2考点：二次函数综合题 2如图所示，现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD，点 P 为正方形 AD 边上的一点 （不与点 A、点 D 重合）将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G 处，PG 交 DC 于 H，折痕为 EF，连接 BP、BH （1）求证：APB=BPH； （2）当点 P 在边 AD 上移动时，PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论； （3）设 AP 为 x，四边形 EFGP 的面积为 S，求出 S 与 x 的函数关系式，试问 S 是否存 在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由【答案】 （1）见解析 （2）不变化 见解析 （3）存在 最小值 6 【解析】 （1）根据翻折变换的性质得出PBC=BPH，进而利用平行线的性质得出 APB=PBC 即可得出答案。 （2）先由 AAS 证明ABPQBP，从而由 HL 得出BCHBQH，即可得 CH=QH。因 此，PDH 的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8 为定值。 （3）利用已知得出EFMBPA，从而利用在 RtAPE 中， （4BE）2+x2=BE2，利用 二次函数的最值求出即可。 解：（1）如图 1，PE=BE，EBP=EPB试卷第 4 页，总 74 页又EPH=EBC=90， EPHEPB=EBCEBP，即PBC=BPH。 又ADBC，APB=PBC。APB=BPH。 （2）PHD 的周长不变为定值 8。证明如下： 如图 2，过 B 作 BQPH，垂足为 Q。由（1）知APB=BPH， 又A=BQP=90，BP=BP， ABPQBP（AAS） 。AP=QP，AB=BQ。 又AB=BC，BC=BQ。 又C=BQH=90，BH=BH，BCHBQH（HL） 。CH=QH。 PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。 （3）如图 3，过 F 作 FMAB，垂足为 M，则 FM=BC=AB。又EF 为折痕，EFBP。 EFM+MEF=ABP+BEF=90。EFM=ABP。 又A=EMF=90，AB=ME，EFMBPA（ASA） 。 EM=AP=x在 RtAPE 中， （4BE）2+x2=BE2，即。2xBE2+8。2xCFBEEM2+x8又四边形 PEFG 与四边形 BEFC 全等，。22211x11SBECFBC=4+x4=x2x+8=x2+622422试卷第 5 页，总 74 页，当 x=2 时，S 有最小值 6。10420, m2 3 421km4析. 【解析】 试题分析：（1）根据点在曲线上点的坐标与方程的关系，求出点 A 的坐标，根据 ABECBO 求出 CO 的长，从而根据轴对称的性质求出 DO 的长，进而求出BED 的面 积 S （2）分和两种情况讨论.0 2（3）连接 AD，由BED 的面积为求出现，得到点 A 的坐标，应用待定3m3系数法，设ADFAEFBDFBEFSS SS得到，从而AFkBFADFBDFAEFBEFSkS, SkS .BDFBEFADFAEFADEBDFBEFBDFBEFBDE133k SSSSSAF322kBFSSSSS43连接 AD，应用待定系数法，设得到ADFAEFBDFBEFSSAFkSSBF，从而得到，因此ADFBDFAEFBEFSkS, SkS ADEBDESkS.22ADEBDE11mmS122kmm 2Sm4 得到，从而AFkBFADFBDFAEFBEFSkS, SkS 试题解析：（1）点 A 是抛物线上的一个动点，AEy 轴于点 E，且，21yx2AEm点 A 的坐标为. 当时，点 A 的坐标为.21m,m2m22, 1 点 B 的坐标为，BE=OE=1.0, 2 试卷第 16 页，总 74 页AEy 轴，AEx 轴. ABECBO.，即，解得AEBE COBO21 CO2.CO2 2点 D 与点 C 关于 y 轴对称，.DOCO2 2.11SBE DO1 2 2222 （2）当时，如图，0 211SBE DOAE OBm22综上所述，S 关于的函数解析式.mSm m 0, m2 （3）如图，连接 AD，BED 的面积为，.点 A 的坐标为.3Sm333,2设，.ADFAEFBDFBEFSSAFkSSBFADFBDFAEFBEFSkS, SkS .BDFBEFADEADFAEFBDEBDFBEFBDFBEFk SSSSSkSSSSS.ADEBDE133SAF322kBFS43 试卷第 17 页，总 74 页k 与 m 的数量关系为，证明如下：21km4连接 AD，则，.ADFAEFBDFBEFSSAFkSSBFADFBDFAEFBEFSkS, SkS .BDFBEFADEADFAEFBDEBDFBEFBDFBEFk SSSSSkSSSSS点 A 的坐标为，.21m,m222ADEBDE11mmS122kmm 2Sm4 考点：1.二次函数综合题；2.单动点问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.相似 三角形的判定和性质；5.轴对称的性质；6.分类思想和待定系数法的应用.8如图，已知抛物线（为常数，且）与轴从左至右依次kyx2x48kk 0x交于 A,B 两点，与轴交于点 C，经过点 B 的直线与抛物线的另一交点y3yxb3 为 D. （1）若点 D 的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式； （2）若在第一象限的抛物线上有点 P，使得以 A，B，P 为顶点的三角形与ABC 相似， 求的值；k （3）在（1）的条件下，设 F 为线段 BD 上一点（不含端点），连接 AF，一动点 M 从 点 A 出发，沿线段 AF 以每秒 1 个单位的速度运动到 F，再沿线段 FD 以每秒 2 个单位 的速度运动到 D 后停止. 当点 F 的坐标是多少时，点 M 在整个运动过程中用时最少？试卷第 18 页，总 74 页【答案】 （1）；（2）或 ；（3）F.3yx2x49k24552, 2 3 【解析】 试题分析：（1）根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，依次求出的值得到直线b 的解析式、点 D 的纵坐标、的值得到抛物线的函数表达式.kBM=9，AB=6，BF=，BD=，AF=4 36 32 3（2）分PABABC 和PABBAC 两种情况讨论即可. （3）过点 D 作 DHy 轴于点 H，过点 A 作 AGDH 于点 G，交 BD 于点 F，则点 F 即为 所求，理由是，由于点 M 在线段 AF 上以每秒 1 个单位的速度运动，在线段 FD 上以每秒 2 个单位的速度运动，从而根据直线 BD 的倾斜角是 30知道，又根据垂1FGFD2直线段最短的性质知点 F 即为所求，从而根据含 30直角三角形的性质求解即可.试题解析：（1）抛物线（为常数，且）与轴从左至右kyx2x48kk 0x依次交于 A,B 两点， A（-2，0），B（4，0）.点 B 在直线上，即.3yxb3 304b3 4 3b3直线的解析式为.34 3yx33 点 D 在直线上，且横坐标为-5，纵坐标为34 3yx33 .34 3y53 333 点 D 在抛物线上，解得.kyx2x48k3 352548 8 3k9抛物线的函数表达式为.3yx2x49（2）易得，点 C 的坐标为，则0,k .22OA2, OB4, OCk, AB6, AC4k , BC16k 试卷第 19 页，总 74 页设点 P 的坐标为，kp,p2p48分两种情况：若PABABC，则PAB=ABC，.APAB BABC由PAB=ABC 得，即.PABtantABanCPHOC AHOB，解得.kp2p4k8 p24 p6此时点 P 的坐标为，6, 2k 222AP622k2 16k由得，解得.APAB BABC222 1