http:/www.doc88.com/wear1981,数 学 MATH,http:/www.doc88.com/wear1981,思维的体操 加里宁,http:/www.doc88.com/wear1981,第四章 转动群, 连续群(continuous): 群元可由一组独立实参量描述, 其中至少有一个参量在一定区域是连续变化的. 设连续参量的数目为r(1rn), 记为r称为该连续群的阶. r个独立实参量的变化区域称为群参数空间,4.1 一些基本概念,连续群G的群元g, 可由r个连续实参量表征, 即,单位元素可用一组零参量来表征, 即,http:/www.doc88.com/wear1981,设一个集合G的元素g可由r个实参量来表征, 即,如果g()满足下列条件: 1) 集合G中存在一个单位元素e=g (0), 对任意元素g()G,有,李群,2) 逆元: 对任意, 存在 , 使,通常取0=0,0, , 0,即对于任意元素g()G,存在逆元素,http:/www.doc88.com/wear1981,3) 封闭性: 对于任意两个元素g(), g()G, 其乘积仍属于G. 即在参数空间中能够找到一个参数, 使,4) 结合律: 对任意, , , 有,是,的实函数, 即,则连续群G称为李群.,或,5) =f(,)是,的解析函数(连续可微), 是的解析函数.,称为李群的结合函数.,http:/www.doc88.com/wear1981, 连通性:如果从连续群的任意一个元素出发, 经过r个参量的连续变化, 可以到达单位元素, 或者说如果连续群中的任意两个元素可以通过r个参量的连续变化连结起来, 则称此连续群是连通的. 这样的李群称为简单李群, 否则称为混合李群., 紧致李群: 如果李群的参数空间由有限个有界的区域组成, 则称该李群为紧致李群, 否则称为非紧致李群.,1) 所有实数以数的加法为群的乘法构成一个一阶李群. 群参数为群元本身. 结合函数为=+. 一阶非紧致简单李群, 例:,2)空间平移群: 三维实空间中的所有平移变换,构成一个李群, 群元由三个独立的实参量,表征.,三阶非紧致简单李群.,http:/www.doc88.com/wear1981,3) 二维特殊酉群SU(2): 所有行列式为+1的二维酉矩阵构成的群. 即,SU(2)是一个三阶紧致简单李群,其中,为实参量.,满足条件,SU(2)的群元可写为,或写为,http:/www.doc88.com/wear1981,4) 三维实正交群O(3): 所有三维实正交矩阵构成的连续群. 群元由3个实参数标记. 群元满足正交条件,三维实特殊正交群SO(3): 所有行列式为 +1 的3维实正交矩阵构成的连续群, 群元由3个实参数标记.,O(3)保持实二次形,不变,SO(3)群对应于三维实空间保持原点不变的三维转动群,群元为转动矩阵 , 由三个实参量0 , 0 , 0 2 来表征. 三阶紧致简单李群.,三维实正交群O(3)=SO(3)E,I. 由行列式分别为1的互不连通的两叶构成, 其参数空间包含两个互不连通的区域, 是三阶紧致混合李群.,http:/www.doc88.com/wear1981, 空间转动群: 三维实坐标空间R3保持原点不变的所有转动变换构成的群, 对应于特殊实正交矩阵群SO(3).,1) SO(3)群的群元可用绕过原点方位角为(,)的转动轴k的转过角的转动变换Ck()表示. 在笛卡尔坐标系中, 绕三个坐标轴x,y,z的转动元素分别为,SO(3)群的参数化:,4.2 转动群SO(3)与二维特殊酉群SU(2),http:/www.doc88.com/wear1981,2) SO(3)群的群元也可用三个欧拉角,来标记. SO(3)转动元素由相继三个转动变换生成: (1) 绕z轴转角,02; (2)绕新的y轴(y轴)转角, 0; (3)绕新的z轴(z轴)转角, 0 2. 即,http:/www.doc88.com/wear1981, 二维特殊酉群SU(2):所有行列式为+1的二维酉矩阵构成的群. 三阶紧致简单李群, 群元由三个实参数表示,或,http:/www.doc88.com/wear1981, SU(2)群与SO(3)群的关系:,对于SU(2)中的任意一个元素uSU(2), 可定义一个三维实坐标 空间中一个变换Ru如下:,为泡利矩阵. 是三个独立二阶零迹厄米矩阵.,定义:,则Ru满足,1) Ru是三维实坐标空间中实正交变换, 即,http:/www.doc88.com/wear1981,2) det(Ru)是a,b的连续函数, det(Ru)=1.,则SU(2)中任意一个元素都对应于SO(3)中一个元素Ru,3) 上述映射关系保持乘法规律不变,4) 上述映射关系是SU(2)到SO(3)的同态映射, 即对于SO(3)中任何一个元素, 都能在SU(2)中找到一个元素与之对应.,http:/www.doc88.com/wear1981,SO(3)中一个元素R(,), 都能在SU(2)中找到一个元素与之对应, 存在SU(2)群到SO(3)群的同态.,5) 同态核由,组成, 对应SO(3)中单位元素.,SU(2)群到SO(3)群的同态映射是二对一的同态, SU(2)中两个元素u,-u对应于SO(3)中同一元素.,http:/www.doc88.com/wear1981,4.3 SU(2)群的不可约表示,SU(2)群元是二维复向量空间上的酉变换,有序复数(,)是二维复向量空间中任意向量. 考虑和的2j次齐次函数构成的2j+1维函数空间,以j为基底生成一个2j+1维的线性复函数空间,http:/www.doc88.com/wear1981,在SU(2)群元作用下, (,)变为(,). 构造一个映射, 将,利用二项式定理,变为,根据负整数的阶乘为无穷, 并进行变量代换=j-k-k,http:/www.doc88.com/wear1981,得到SU(2)群元u的表示矩阵,Aj保持SU(2)的乘法规律不变,表示Aj是SU(2)的酉表示:,http:/www.doc88.com/wear1981,如果对角矩阵A对角元素各不相同, 则与之对易的矩阵必是对角矩阵.,表示Aj是SU(2)的不可约表示:,2) 如果对角矩阵A矩阵B对易, 且B中有一列不含一个零,则A必为常数矩阵.,与SU(2)表示矩阵Aj(u)对易的SU(2)的矩阵必为常数矩阵:,当SU(2)元素中参数取a=exp(i/2), b=0时,2) Aj(u)第一列,http:/www.doc88.com/wear1981,SU(2)元素,SU(2)的类结构和特征标:,本征值,可将本征值取为,参数a实部相同的所有元素本征值相同.本征方程,本征值只与Re(a)有关, Re(a)相同的所有元素本征值相同, 通过相似变换联系, 相互等价, 互为共轭元素.,http:/www.doc88.com/wear1981,2) 取SU(2)元素,SU(2)的类结构和特征标:,表示Aj的特征标为,u() 与u()属于同一类, 则可用u()标记SU(2)群的类.,http:/www.doc88.com/wear1981,4.4 SO(3)群的不可约表示,SU(2)群有到SO(3)群的同态映射是二对一的同态, 保持乘法规律 不变. SU(2)中两个元素(u,u)对应于SO(3)中同一转动元素Ru.,对于SU(2)的表示Aj, 当j为整数时, 有Aj(u)= Aj(u), SU(2)中两个元素(u,u)对应于同一表示矩阵. 则Dj(Ru)= Aj(u)是SO(3)的一个表示, 称为单值表示.,对于SU(2)的表示Aj, 当j为半整数时, 有Aj(u)= Aj(u), 根据同态关系, 有两个矩阵Aj(u)对应于SO(3)中一个元素, Dj(Ru)= Aj(u)不是SO(3)的表示.,SO(3)群中具有相同转角的元素属于同一类. 可用Ck()标记. 特征标为,http:/www.doc88.com/wear1981,4.5 李群的无限小生成元,设李群由r个实参量来表征,恒元由零参量标记0, 恒元附近的无穷小元素由无穷小参量,将结合函数作泰勒展开,结合函数为,描述.,是群元g()邻域的元素.,http:/www.doc88.com/wear1981,定义,考虑的任意一个解析函数F()的变化, 即,则,则,称为李群的无限小生成元.,http:/www.doc88.com/wear1981,例:,SO(2)为绕固定轴z转动群, 群元可参数化为,1) SO(2)的无限小生成元,无限小生成元,结合函数为,则,http:/www.doc88.com/wear1981,例:,SO(3) 群元可参数化为绕k轴的转动Ck(),2) SO(3)的无限小生成元,无限小转动将空间一点变到,任意函数变为,http:/www.doc88.com/wear1981,