概率论与数理统计,2018/10/18,1,概率论与数理统计是研究随机现象 数量规律的一门学科。,第一章 概率论的基本概念1.1 随机试验1.2 样本空间 1.3 概率和频率1.4 等可能概型（古典概型）1.5 条件概率1.6 独立性第二章 随机变量及其分布2.1 随机变量2.2 离散型随机变量及其分布2.3 随机变量的分布函数2.4 连续型随机变量及其概率密度2.5 随机变量的函数的分布第三章 多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量3.2 边缘分布3.3 条件分布3.4 相互独立的随机变量3.5 两个随机变量的函数的分布,第四章 随机变量的数字特征 4.1 数学期望 4.2 方差 4.3 协方差及相关系数 4.4 矩、协方差矩阵第五章 大数定律和中心极限定理5.1 大数定律5.2 中心极限定理 第六章 数理统计的基本概念6.1 总体和样本6.2 常用的分布,第七章 参数估计7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准7.3 区间估计 第八章 假设检验8.1 假设检验8.2 正态总体均值的假设检验8.3 正态总体方差的假设检验8.4 置信区间与假设检验之间的关系8.5 样本容量的选取8.6 分布拟合检验8.7 秩和检验第九章 方差分析及回归分析9.1 单因素试验的方差分析 9.2 双因素试验的方差分析9.3 一元线性回归9.4 多元线性回归,第十章 随机过程及其统计描述 10.1 随机过程的概念 10.2 随机过程的统计描述 10.3 泊松过程及维纳过程第十一章 马尔可夫链 11.1 马尔可夫过程及其概率分布 11.2 多步转移概率的确定 11.3 遍历性第十二章 平稳随机过程 12.1 平稳随机过程的概念 12.2 各态历经性 12.3 相关函数的性质 12.4 平稳过程的功率谱密度,概 率 论,关键词：样本空间随机事件频率和概率条件概率事件的独立性,第一章 概率论的基本概念,1 随机试验,确定性现象：结果确定 不确定性现象：结果不确定,确定,不确定,不确定,自然界与社会生活中的两类现象,例：向上抛出的物体会掉落到地上,明天天气状况,买了彩票会中奖,概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律,对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。它具有以下特性： 可以在相同条件下重复进行 事先知道可能出现的结果 进行试验前并不知道哪个试验结果会发生,例： 抛一枚硬币，观察试验结果； 对某路公交车某停靠站登记下车人数； 对某批电子产品测试其输入电压； 对听课人数进行一次登记；,2 样本空间随机事件,(一)样本空间样本空间Se：随机试验所有结果构成的集合 样本点：e,S=0,1,2,；,S=正面，反面；,S=(x,y)|T0yxT1；,S= x|axb ,记录一城市一日中发生交通事故次数,例：一枚硬币抛一次,记录某地一昼夜最高温度x，最低温度y,记录一批产品的寿命x,(二) 随机事件（随机）事件A：S的子集事件A发生：集合A中的某一样本点出现,S=0,1,2,；,记 A=至少有10人候车=10,11,12, S， A为随机事件，A可能发生，也可能不发生。,例：观察89路公交车浙大站候车人数，,基本事件:单点集 必然事件:S 不可能事件:,例： 记A=明天天晴，B=明天无雨记A=至少有10人候车，B=至少有5人候车一枚硬币抛两次，A=第一次是正面，B=至少有一次正面,(三) 事件的关系及运算 事件的关系（包含、相等）,3 当AB= 时，A与B不相容（互斥）,事件的运算,A与B的和事件，记为,A与B的积事件，记为,“和”、“交”关系式,例：设A= 甲来听课 ，B= 乙来听课 ，则：,甲、乙至少有一人来,甲、乙都来,甲、乙都不来,甲、乙至少有一人不来,3 频率与概率,(一)频率定义：记 其中 A发生的次数(频数)；n总试验次 数。称 为A在这n次试验中发生的频率。,某人一共听了16次“概率统计”课，其中有12次迟到，记A=听课迟到，则 # 频率 反映了事件A发生的频繁程度。,例： 中国国家足球队，“冲击亚洲”共进行了n次，其中成功了一次，则在这n次试验中“冲击亚洲”这事件发生的频率为,表 1,例：抛硬币出现的正面的频率,表 2,* 频率的性质：且 随n的增大渐趋稳定，记稳定值为p,(二) 概率定义1： 的稳定值p定义为A的概率，记为P(A)=p定义2：称P(A)为事件A的概率。,性质：,B,B-A,A,A,B,B-A,4 等可能概型（古典概型）,定义：若试验E满足： S中样本点有限(有限性) 出现每一样本点的概率相等(等可能性),称这种试验为等可能概型(或古典概型)。,例1：一袋中有8个球，其中3个为红球，5个为黄球，从袋中不放回摸两球，记A=恰是一红一黄，求P(A)解：,例2：有N件产品，其中D件是次品，从中不放 回的取n件，记Ak恰有k件次品，求P(Ak)解,例3：将n个不同的球，投入N个不同的盒中(nN)，设每球落入各盒的概率相同，且各盒可放的球数不限，求每盒中至多一球的概率。,1,2,a,a+1,a+b,白,红,解：假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待来访者都是在周二、周四的概率为212/712 =0.000 000 3.,例6：某接待站在某一周曾接待12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的?,人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”(称之为实际推断原理)。现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了，因此有理由怀疑假设的正确性，从而推断接待站不是每天都接待来访者，即认为其接待时间是有规定的。,作业： p322,3,6,7,9,12,5 条件概率,一、条件概率,例：某班男生占1/3,男生且戴眼镜的占1/4，女生且戴眼 镜的占1/3任取一人。解：设“A”：该人为男生，“B”: 该人戴眼镜,二、乘法公式当下面的条件概率都有意义时：,例：某厂生产的产品能直接出厂的概率为70%，余下 的30%的产品要调试后再定，已知调试后有80% 的产品可以出厂，20%的产品要报废。求该厂产 品的报废率。,解：设 A=生产的产品要报废B=生产的产品要调试已知P(B)=0.3，P(A|B)=0.2，,例：某行业进行专业劳动技能考核，一个月安排一次，每人 最多参加3次；某人第一次参加能通过的概率为60%；如 果第一次未通过就去参加第二次，这时能通过的概率为 80%；如果第二次再未通过，则去参加第三次，此时能通 过的概率为90%。求这人能通过考核的概率。,解： 设 Ai= 这人第i次通过考核 ，i=1,2,3A= 这人通过考核 ，,亦可：,例：从52张牌中任取2张，采用(1)放回抽样，（2）不放回抽样，求恰是“一红一黑”的概率。,利用乘法公式,与 不相容,（1）放回抽样：,（2）不放回抽样：,解：设 Ai=第i次取到红牌，i=1,2B=取2张恰是一红一黑,三、全概率公式与Bayes公式,定义：称B1,B2,Bn为S的一个划分若：,全概率公式：,* 全概率公式可由以下框图表示：设 P(Bj)=pj, P(A|Bj)=qj, j=1,2,n易知：,S,P1,B2,例：某班男生占2/3，女生占1/3，男生中戴眼 镜的有1/2，女生中戴眼镜有3/4，任取1人。(1)此人戴眼镜的概率？(2)若已知此人戴眼镜，则此人是男生的概率？,例：一单位有甲、乙两人，已知甲近期出差的概率为80%，若甲出差，则乙出差的概率为20%；若甲不出差，则乙出差的概率为90%。(1)求近期乙出差的概率；(2)若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率。,Bayes公式,全概率公式,解：设A=甲出差，B=乙出差,例：根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有5%的假阳性及5%的假阴性：若设A=试验反应是阳性， C=被诊断患有癌症则有： 已知某一群体 P(C)=0.005，问这种方法能否用于普查？,若P(C)较大，不妨设P(C)=0.8 推出P(C|A)=0.987 说明这种试验方法可在医院用,解：考察P(C|A)的值,若用于普查，100个阳性病人中被诊断患有癌症的大约有8.7个，所以不宜用于普查。,6 独立性,例：有10件产品，其中8件为正品，2件为次品。从中取2 次,每次取1件，设Ai=第i次取到正品，i=1,2,不放回抽样时，,放回抽样时，,即放回抽样时，A1的发生对A2的发生概率不影响同样，A2的发生对A1的发生概率不影响,定义：若P(AB)=P(A)P(B) 称A，B相互独立。,注意：,例：甲、乙两人同时向一目标射击，甲击中 率为0.8，乙击中率为0.7，求目标被 击中的概率。,解：设 A=甲击中,B=乙击中C=目标被击中, 甲、乙同时射击，其结果互不影响， A，B相互独立,例：有4个独立元件构成的系统(如图)，设每个元件能正常运行的概率为p，求系统正常运行的概率。,注意：这里系统的概念与电路中的系统概念不同,复习思考题 1,2. “两事件A和B为互不相容，即AB=,则A和B互逆”，对吗？ 反之成立吗？试举例说明之。4. 甲、乙两人同时猜一谜，设A=甲猜中，B=乙猜中，则AB=甲、乙两人至少有1人猜中。若P(A)=0.7,P(B)=0.8,则“P(AB)=0.7+0.8=1.5”对吗？ 5. 满足什么条件的试验问题称为古典概型问题？,7.如何理解基本事件是两两互不相容的？8.设A和B为两随机事件，试举例说明P(AB)=P(B|A)表示不同的意义。10.什么条件下称两事件A和B相互独立？什么条件下称n个事件A1,A2,An相互独立？11.设A和B为两事件，且P(A)0,P(B)0,问A和B相互独立、A和B互不相容能否同时成立？试举例说明之。12.设A和B为两事件，且P(A)=a,P(B)=b,问：(1) 当A和B独立时,P(AB)为何值？(2) 当A和B互不相容时, P(AB)为何值？,13.当满足什么条件时称事件组A1,A2,An为样本空间的一个划分？15.设A,B,C为三随机事件,且P(C)0,问P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)P(AB|C)是否成立？若成立，与概率的加法公式比较之。,第二章 随机变量及其分布,关键词：随机变量 概率分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量的函数,1 随机变量,* 常见的两类试验结果：,X=f(e)为S上的单值函数，X为实数,* 中心问题：将试验结果数量化,* 定义：随试验结果而变的量X为随机变量,* 常见的两类随机变量,例：掷硬币3次，出现正面的次数记为X.,2 离散型随机变量及其分布,定义：取值可数的随机变量为离散量离散量的概率分布(分布律),# 概率分布,例：某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经 过3个独立的交通灯，设各灯工作独立，且设 各灯为红灯的概率为p，0p1，以X表示首次 停车时所通过的交通灯数，求X的概率分布律。,解：设Ai=第i个灯为红灯，则P(Ai)=p，i=1,2,3 且A1,A2,A3相互独立。,例：从生产线上随机抽产品进行检测，设产品 的次品率为p，0p1，若查到一只次品就 得停机检修，设停机时已检测到X只产品， 试写出X的概率分布律。,