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第二章 习题解答1、证明的充要条件是对任意含有的邻域 U(,)(不一定以0PE0PP为中心)中,恒有异于的点属于(事实上,这样的还有无穷多个) 。0P0P1PE1P而的充要条件则是有含的邻域 U(,)(同样,不一定以为中心)0P0 E0PP0P存在,使 U(,)。PE证明:(1)充分性,用反证法,若,则的某一邻域 U(,)0PE0P0P0中至多有有限个异于的点,属于,令d(,)0P1X2XnXEni1min0Pix=,在 U(,)中不含异于的点属于,这与条件矛盾。0P0PE必要性,设 U(,)是任意一个含有的邻域,则 d(,)0,则 U(,)U(,)。因为,所以,在 U(10PP0P1P0PE,)中含于无穷多个属于的点,其中必有异于的点,即 U(,)0P1E0P1PP中有异于的点 。0P1P(2)必要性是显然的,下面证明充分性,设含有的邻域 U(,),0PPE则 d(,)是开集,而|()是闭集。Exfxa1Exfxa证明:若|(),则是开集,若,有ExfxaEE0xE(),因为()在连续,所以0,当U(,)时,有()f0xafx0xx0xfx,即 U(,),所以是的内点,故是开集。同理可证|()a0xE0xEExfx0,使|()() nlimfnxf0x0nkxfnkxf0x|(1,2,)即()()或()(),若0kfnkxf0x0fnkxf0x0()(),令 C(),则|()C,fnkxf0x0fnkx0nkxExfx因为,所以,而()()C,所以,与nkx0x0xEf0xf0x00xE为闭集矛盾;若()(),则可导出与为闭集矛盾。Efnkxf0x01E12、证明2 定理 5 。定理 5:设,则至少有一界点(即) 。EEnREE证明:因为,所以存在,设EEnR0PE1P E(,),(,),令(1 ),0P1a2ana1P1b2bnbtPt1bt1a(1 ),(1 )(0 1),sup |。以下t2bt2atnbtnat0tttPE证明 。0tPE(1)若,则1(否则)当0,1,满足 10tPE0t0tP1P Et0tt时,。于是,对任意,存在,满足1,使,显tP Ennt0tntnt0tntPE然有,所以 。ntP0tP0tPE(2)若,则0,存在,0,同样有0tPE0tntnt0tnt0tntPE。0tPE103104
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