习题 11 解答1 设，求yxxyyxf),(),(1),(),1,1(),(yxfyxxyfyxfyxf解；yxxyyxf),(xxyy yxfyxyxxyfxy xyyxf222 ),(1;),(;1)1,1(2 设，证明：yxyxflnln),(),(),(),(),(),(vyfuyfvxfuxfuvxyf),(),(),(),(lnlnlnlnlnlnlnln)ln)(lnln(ln)ln()ln(),(vyfuyfvxfuxfvyuyvxuxvuyxuvxyuvxyf3 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形：（1）; 11),(22yxyxf（2）;)1ln(4),(222yxyxyxf（3）;1),(222222cz by axyxf（4）. 1),( 222zyxzyxzyxf 解（1）1, 1),(yxyxD（2）xyyxyxD4, 10),(222yx11-1-1Oyx11-1-1O（3） 1),(222222cz by axyxD（4）1, 0, 0, 0),(222zyxzyxzyxD4求下列各极限：（1）=22 101limyxxyyx11001（2）2ln01)1ln(ln(lim022)01 eyxexyyx（3）41)42()42)(42(lim42lim00 00 xyxyxyxy xyxyyx yx（4）2)sin(lim)sin(lim02 02 xxyxy yxyyx yx5证明下列极限不存在：（1） （2）;lim00yxyxyx2222200)(limyxyxyxyx（1）证明 如果动点沿趋向),(yxPxy2)0 , 0(则；322limlim 0 020 xxxx yxyxx xyx如果动点沿趋向，则),(yxPyx2)0 , 0(33limlim 0 020 yy yxyxy yxyyx-a-bcOzabyxOz所以极限不存在。（2）证明 如果动点沿趋向),(yxPxy )0 , 0(则；1lim)(lim4402222200 xx yxyxyxx xyx如果动点沿趋向，则),(yxPxy2)0 , 0(044lim)(lim244022222020 xxx yxyxyxx xyx所以极限不存在。 6指出下列函数的间断点：（1）； （2）。xyxyyxf22),(2yxz ln解 （1）为使函数表达式有意义，需，所以在处，函数间断。022 xy022 xy（2）为使函数表达式有意义，需，所以在处，函数间断。yx yx 习题 121 （1）,，.xy yxz21 xy yxz21 yx xyz(2)2sin()cos()sin()cos(2)cos(xyxyyxyxyyxyyxz)2sin()cos()sin()cos(2)cos(xyxyxxyxyxxyxyz(3),121)1 ()1 (yyxyyyxyyxzlnz=yln(1+xy)，两边同时对 y 求偏导得 ,1)1ln(1 xyxyxyyz z;1)1ln()1 (1)1ln(xyxyxyxyxyxyxyzyzy (4),)(2213323yxxyxxyxxyxz ;11322yx xyxx yz (5);xxzy zuxxzyuxzy xuzy zy zy ln,ln1,21(6), ,;zzyxyxz xu21)(1)( zzyxyxz yu21)(1)( zzyxyxyx zu2)(1)ln()( 2.(1);0, 1, 0,yyxyxxyxzzzxzyz(2) ),(2sin),(2sinbyaxbzbyaxazyx.)(2cos2),(2cos2),(2cos222byaxbzbyaxabzbyaxazyyxyxx3 ,2222,2,2xyzfzxyfxzyfzyx,2,2,2zfxfzfyzxzxx.0)0 , 1, 0(, 2)2 , 0 , 1 (, 2) 1 , 0 , 0(yzxzxxfff4 )2(2cos),2(2cos2),2(2sin),2(2sin2txztxztxztxzttxttx.0)2(2cos2)2(2cos22txtxzzxttt5.(1) , , ;xyxexyz2xyyexz1dzdxexyxy2dyexxy1(2) ,;)ln(2122yxz22yxxzx22yxyzydyyxydxydz2222xx(3) , ,;22 22)(1yxyxyxyzx 22 2)(11yxxxyxzy 22yxxdyydxdz(4) ,1yz xyzxuxzxuyz ylnxyxuyz zln.duxdzyxxdyzxdxyzxyzyzyzlnln16. 设对角线为 z,则, ,22yxz 22yxxzx 22yxyzy dz 22yxydyxdx当时, =-0.05(m).1 . 0,05. 0, 8, 6yxyx 2286) 1 . 0(805. 06dzz7. 设两腰分别为 x、y,斜边为 z,则,22yxz，, , 22yxxzx 22yxyzy dz 22yxydyxdx设 x、y、z 的绝对误差分别为、,xyz当时, 1 . 0, 1 . 0,24, 7yxyxyx2524722z=0.124,z 的绝对误差 222471 . 0241 . 07dzz124. 0zz 的相对误差. zz%496. 025124. 08.设内半径为 r，内高为 h，容积为 V，则,hrV2rhVr22rVh,dhrrhdrdV22当时,1 . 0, 1 . 0,20, 4hrhr.)(264.551 . 0414. 31 . 020414. 3232cmdVV习题 131. dxdz zf dxdy yf dxdx xf dxdu 2)(1zxyzy axaezxyzx2)(122)(1zxyzxy ) 1(2axa=.222)1(2 yxzaxaxyaxzzy axaxexaxxaeax22422) 1()1 () 1( 2.=xf xf xz 4432224arcsin 11yxxyxx )(1 ()ln(1arcsin422224444223yxyxyxx yxyxx=yf yf yz 4432224arcsin 11yxyyxy . )(1 ()ln(1arcsin422224444223yxyxyxy yxyxy3.(1) =, =.xu 212fyexfxyyu 212fxeyfxy(2) =, =,=.xu 11fyyu 2121fzfyxzu 22fzy(3) =,=,=.xu 321yzfyffyu 32xzfxf zu 3xyf(4) =,=.xu 3212fyfxfyu 3212fxfyfzu 3f4.(1),1yfxz21fxfyz,112 22 fyxz12111121112 )(yfxyfffxfyfyxz=2221121122 )(fxffxfxyz22121122fxffx(2) ,2122xyffyxz22 12fxxyfyz.2222 123 114 222212 2121122 22442)2(22)2(fyxfxyfyyfxyffyxyyfxyffyyxz1222 223 113 21222 212122 112 1252222)2(22)2(2fyxyfxfxyxfyffxxyfxyxffxxyfyyfyxz224 123 1122 1222 212 122 11122442)2()2(22fxyfxfyxxffxxyfxfxxyfxyxfyz5 ,yu xu ty yu tx xu tu yu xu sy yu sx xu su 21 23,23 21,222)(43 23)(41)(yu yu xu xu su 222)(41 23)(43)(yu yu xu xu tu .2222)()()()(yu xu tu su 6 (1) 设, ,)(),(zyxezyxzyxF)(1zyx xeF)(1zyx yeF,)(1zyx zeF,1zx FF xz1zy FFyzxzyx yxzyx yxzyxxFyxzyxzzyxFx2)(21(sectan,tan),()2(23 222222222222222 设=,222222tanyxxzyxzyxx 222sec yxz)2()(21(sectan23 22222222222yzyx yxzyx yxzyxyFy =,222222tanyxyzyxzyxy 222sec yxz=,1zF 22222sec yxzyx 221yx 222tan yxz, xz)cot1 (cot 222 222222yxz yxxzyxzyxx FFzx yz).cot1 (cot 222 222222yxz yxyzyxzyxy FFzy (3) 设, ,xyzzyxzyxF22),(xyzFx1yxzFy 2zxyFx1=,=. xzzx FF xyxyzxyzyz yzzy FF xyxyzxyzxz2(4) 设,yzzx yz zxzyxFlnlnln),(yFzFyx1,1zzxFz12, xz zxz FFzx yz )(2zxyz FFzy 7.设,)32sin(232),(zyxzyxzyxF),32cos(21zyxFx,)32cos(42zyxFy)32cos(63zyxFz, xz 31zx FF yz 32zy FF1. xz yz8.设,2121,),(),(baFcFcFbzcyazcxzyxFzyx