第二章 矩 阵,矩阵是线性代数中一个重要的数学概念，在线性代数中起着极其重要的作用，本章将引进矩阵的概念，并讨论矩阵和线性变换的关系，以及矩阵的运算。重点是逆矩阵的计算和矩阵方程的求解。,1 矩阵的概念及其基本运算,定义2.1 由mn个数aij (i=1,2,m,j=1,2,n)组成的m行n列的数表,称为m行n列矩阵,简称mn矩阵,记为:,组成矩阵的这mn个数称为矩阵A的元素, aij称为矩阵A的第i行第j列元素, 矩阵A也简记为(aij)或(aij) mn或A mn 。,元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素为复数的矩阵称为复矩阵，本课除特殊说明外都讨论实矩阵。,下面介绍矩阵的基本关系及运算,一、相等,设有两个矩阵A=(aij)mn, B=(bij)st, 如果m=s, n=t, aij=bij (i=1,2,m,j=1,2,n), 则称矩阵A与B相等, 记为A=B.,两个矩阵相等, 是指两个矩阵完全一样, 即阶数相同而且对应的元素完全相等.,二、加法,设A=(aij)mn, B=(bij)mn, 则矩阵C=(cij)mn (其中cij =aij+bij , i=1,2,m, j=1,2,n) 称为A与B的和记作A+B.即,注意:只有两个矩阵阶数相同时才能相加.,例1 设,则,元素全为零的矩阵称为零矩阵, 记为0. 注意:阶数不同的零矩阵是不同的.,设A=(aij)mn, 称矩阵(aij)mn为A的负矩阵, 记 A.,矩阵加法满足下列运算规律(设A、B、C是同阶矩阵):,()交换律：A+B=B+A,定义两个矩阵的减法为: BA=B+( A).,() 结合律: (A+B)+C=A+(B+C),() A+0=A,() A+( A)=0,三、数乘法,设k为数, A=(aij)mn为矩阵, 则矩阵(kcij)mn (其中cij 称为k与B的乘积记作kA或Ak. 即,数乘矩阵满足下列运算规律(设A、B是同阶矩阵),（）1A= A,（ ）数的分配律： (k+l) A=kA+lA,（ ）矩阵的分配律： k(A+B)=kA+kB.,（ ）结合律：(kl)A=k(l A),四、乘法,设矩阵A=(aij)mn, B=(bij)np, 则矩阵C=(cij)mp (其中cij =aikbkj , i=1,2,m, j=1,2,p) 称为A与B的乘积,记作C=AB. 即,其中,注意: 矩阵A, B能够乘积的条件是矩阵A的列数等于矩阵B的行数, 且乘积矩阵与A行数相同, 与B列数相同.,解,例2 设,求AB.,注意: 这里BA无意义.,例3 设矩阵,解,可见，若C=AB, 则乘积矩阵C的第i行第j列元素cij就是A的第i行和B的第j列的乘积。,求AB和BA.,例4 求矩阵,求AB和BA。,解,由例题可见，即使AB与BA都是2阶方阵, 但它们还是,可以不相等。所以，在一般情况下ABBA。 另外，虽然,AO，BO，但是BA=O。从而，由AB=O，不能推出A和B中有一个是零矩阵的结论。而若AO，由AX=AY,也不能得到X=Y的结论。,矩阵的乘法满足下列运算规律(设运算都是可行的)：,（）结合律：(AB)C= A(BC) ;,（ ）数的结合律：k(AB)=(kA)B=A( kB);,（ ）分配律：A(B+C)= AB+AC ;,(B+C)A= BA+CA;,五 矩阵的转置,设矩阵A=(aij)mn, 则矩阵B=(bij)nm(其中bij =aji , i=1,2,n, j=1,2,m) 称为A的转置, 记作B=AT,或A, 即,矩阵的转置满足下列运算规律(设运算都是可行的)：,（）(AT)T=A ；,（）(A+B)T=AT+BT ；,（）(kA)T=kAT ；,（）(AB)T=BTAT ；,行数和列数相等的矩阵称为方阵. nn阶矩阵称为n阶方阵.,和行列式相同, 主对角线以外的元素全是零的方阵也称为对角矩阵. 即,对角矩阵也常记为: A=diag(a11, a22, ann),对角线元素全是1的对角矩阵称为单位矩阵, 记为E(或I). n阶单位矩阵也记为En(或In), 即,单位矩阵具有性质：AmnEn= Amn , EmAmn= Amn,n阶单位矩阵也可表示为: En=(ij)n, 其中,A0=E, A1=A， A2= A1 A1 ，, Ak+1=AkA1,矩阵的幂满足以下运算规律(设A与B是同阶方阵, k和l是非负整数),设A为方阵, 定义A的幂为:,（）AB=BA时有: (AB)k=AkBk,（）(Ak)l=Akl,（）Ak Al =Ak+l,注意: (AB)k=AkBk时, 不一定有AB=BA. 如,有 (AB)k=AkBk (k=0,1,2,), 但ABBA.,方阵的行列式满足以下运算规律(设A与B是n阶方阵, k是常数),（）det (AB)=detAdetB,（）det(kA) =kndetA,（）det(AT) =detA,设A=(aij)n是n阶方阵, 则n阶行列式|aij|n称为A的行列式, 记为detA(或|A|), 即detA=|A|=|aij|n.,称满足条件A=AT的矩阵A为对称矩阵. 显然对称矩阵是方阵.,设A=(aij)n, 则A是对称矩阵aij=aji , 即,对称矩阵的元素以主对角线为轴对称。,2 逆 矩 阵,数的除法运算是乘法运算的逆运算, 且有:,1a=a1=a,ba=ba-1, aa-1=a-1a= 1,对矩阵的乘法我们也有:,AmnEn= Amn , EmAmn= Amn,所以, 当A是n阶方阵时我们有:,AnEn= EnAn= An,可见, 对n阶方阵来说, n阶单位矩阵En在乘法运算中的作用和1在数的乘法中的作用是一致的.,由于矩阵乘法运算不满足交换律, 定义矩阵除法是困难的, 为对应矩阵乘法运算的逆运算引进逆矩阵的概念.,定义2.2 对n阶方阵A，如果存在n阶方阵B，使 AB=BA=E 则称方阵A是可逆的，且称B是A的逆矩阵，记为B=A1。,可逆矩阵又称为非异阵或非奇异阵.,显然单位矩阵E是可逆的, 且E-1=E, 但零矩阵不可逆。,若矩阵A, B, C都是n阶方阵, 且A是可逆矩阵，则,由 BA=C 可得 CA-1=B,由 AB=C 可得 A-1C=B,可见, 引进逆矩阵的概念就解决了矩阵乘法逆运算的问题.,但由于矩阵乘法不满足交换律, 所以CA-1A-1C, 若引入“左除”,“右除”的概念很乱, 所以逆矩阵解决了这一问题.,定理2.1 若矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的.,证明 设B，C都是A的逆矩阵，则有,B=BE,=B(AC),=(BA)C,=C,=EC,可逆矩阵满足以下运算规律(设A与B是n阶可逆矩阵, k是常数),（） (A-1) -1=A,（） (AT)-1=(A-1)T,（） (kA)-1 =1/k A-1,（） (AB)-1=B-1A-1 .,证明 仅证(), 其它完全类似.,(AB) (B-1A-1)= A(BB-1)A-1=AA-1=E.,(B-1A-1)(AB) = B-1(A-1A)B=B-1B=E, 所以()成立.,对n阶方阵A, 其行列式|A|的各元素的代数余子式Aij也称为方阵A的代数余子式.,称为方阵A的伴随矩阵, 伴随矩阵也记为adj(A)。,例5,证 设A=(aij)n，记AA*=(bij)n，则,bij=ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=|A|ij (i, j=1,2,n),故 AA*=|A|E，类似地 A*A=|A|E,由方阵A的代数余子式组成的如下形式的矩阵,证明: AA*=A*A=|A|E,定理2.2 矩阵A可逆|A|0。且|A|0时, 有,证 必要性: A可逆, 则A A-1=E, 所以|A|A-1|=|E|=1，所以|A|0。 (而且|A -1 |等于|A |的倒数),充分性: 若|A|0，则由例5有 AA*=A*A=|A|E,其中A*为矩阵A的伴随矩阵。,于是有,即A可逆, 且,推论 若AB=E(或BA=E)，则B=A-1。,证 因AB=E，所以|A| 0，因而A1存在，于是,B=EB= A-1AB= A-1,的逆矩阵.,例6 求方阵,解 因为|A|100，所以A可逆，又,A11=-1，,A21=-5，,A31=7，,A12=5，,A13=-1,A22=5，,A23=5,A32=-5，,A33=-3,所以有,例7 设,求解矩阵方程AXB=C.,A -1AXBB -1 =A -1 CB -1,即 X =A -1 CB -1,解 由例6知A可逆，而|B| =-1 0，故B也可逆。,又因为,由AXB=C, 得,所以有,矩阵在线性方程组求解中有重要作用.,记矩阵,则方程组可写成矩阵形式: Ax=,矩阵A称为方程组的系数矩阵.,对方程组,如果矩阵|A|0, 则A可逆, 于是方程组的解为,即,这就是第一章中Cramer法则的结论.,3 分块矩阵,用若干条横线和纵线将矩阵A分成许多小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。,例如矩阵,将矩阵A记为,也可将矩阵A分成：,矩阵具体如何分块, 一般没有限制. 但应突出特点,便于简化处理. 灵活恰当的运用分块矩阵, 可获得事半功倍的效果.,分块矩阵的运算规则与一般矩阵的运算规则很类似，分别说明如下：,(1) 设有两个同阶矩阵A，B，采用相同的分块法：,其中Aij与Bij是同阶矩阵，则有,(2)设矩阵A采用上述分块法，k是数，则有,(3)设有两个矩阵A ml，B ln，分块成：,其中Ai1, Ai2, Ait, 的列数分别等于B1j, B2j, Btj,的行数, (i=1,2,s, j=1,2,r).,则有,其中,例8 设,求AB。,解 把A、B分块成,由于,(4) 设 ,则,(5) 设A为n阶方阵, 若A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块, 其余子块都为零矩阵, 且非零子块都是方阵，即,则称A为分块对角矩阵, 分块对角矩阵具有性质:,（a） |A|=|A1|A2|As|,（b）,例9 设,求A1。,解 因为A是分块对角矩阵,所以,例10 设,求A1。,解 对A进行分块,即,则有,.,所以有,记,X11+A1X21=E , X12+A1X22=0, A2X21=0, A2X22=E,解得,所以有,例11,证明 设A是mn矩阵, B是nm矩阵.,其中An, Bn都是n阶方阵. 于是有,所以有,设AB=E, BA=E, 则A是方阵, 且可逆, A-1=B.,如果mn, 作分块,AnBn=En , AnBm-n=0, Am-nBn=0, Am-nBm-n=Em-n,矛盾. 故应有mn. 同理可得nm. 于是m=n.,即A, B都是方阵, 于是A可逆, 且其逆矩阵为B.,作 业,习题A 第48页,7(1) (2)、8、10、11、 12、16、17 、18、19,4 初等变换与初等矩阵,矩阵的初等变换是矩阵的一种非常重要的运算，它在线性代数中有着极其广泛的应用。,