第九章 微分方程与差分方程简介,9.1 微分方程的基本概念,9.2 一阶微分方程,9.3 高阶常系数线性微分方程,9.4 差分方程的基本概念,9.5 常系数线性差分方程,9.6 高阶常系数线性差分方程,9.1 微分方程的基本概念,一、微分方程的定义,凡含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程,未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程,未知函数为多元函数，同时含有多元函数的偏导数的 微分方程，称为偏微分方程,定义1,二、微分方程的阶,微分方程中，未知函数的最高阶导数的阶数 称为微分方程的阶,三、微分方程的解,如果某个函数代入微分方程后使其两端恒等，则称 此函数为该微分方程的解，如果微分方程的解所含 独立的任意常数个数等于方程的阶数，则称此解为 微分方程的通解。而微分方程任意确定的解称为微 分方程的特解,定义2,定义3,9.2 一阶微分方程,一、可分离变量的微分方程,二、齐次微分方程,齐次微分方程不是可分离变量的微分方程，但通过变量 代换可将其化为可分离变量的微分方程，方法如下：,一阶线性微分方程（Linear differential equation of first order),线性方程 (Linear differential equation)伯努利方程 (Bernoulli differential equation)三 小结 思考判断题,一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,一 线性方程(Linear differential equation),例如,线性的;,非线性的.,齐次方程的通解为,1. 线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,作变换,2. 线性非齐次方程,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,解,例1,例2 如图所示，平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 .,两边求导得,解,解此微分方程,所求曲线为,解,方程改写为,不是一阶线性方程,9.3 高阶常系数线性微分方程,一、二阶常系数齐次线性微分方程,二阶常系数齐次线性方程解法,-特征方程法,将其代入上方程, 得,故有,特征方程,特征根,有两个不相等的实根,两个线性无关的特解,得齐次方程的通解为,特征根为,有两个相等的实根,一特解为,得齐次方程的通解为,特征根为,有一对共轭复根,重新组合,得齐次方程的通解为,特征根为,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例1,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例2,二、二阶常系数非齐次线性微分方程,设,对x求导,为非齐次方程,令,则有,二阶导数,9.4 差分方程的基本概念,一、差分的概念,定义,二阶差分,三阶差分,反之,由定义容易证明，差分具有以下性质：,