椭圆中的最值问题与定点、定值问题椭圆中的最值问题与定点、定值问题解决与椭圆有关的最值问题的常用方法解决与椭圆有关的最值问题的常用方法（1）利用定义转化为几何问题处理；（2）利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征进而求解；（3）利用函数最值得探求方法，将其转化为区间上的二次 函数的最值来处理，此时应注意椭圆中 x、y 的取值范围；（4）利用三角替代（换元法）转化为 三角函数的最值问题处理。一一 、椭圆上一动点与焦点的距离的最值问题、椭圆上一动点与焦点的距离的最值问题 椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径，椭圆上一动点与长轴的两端点重合时，动点与焦点取得最大值 a+c（远日点） 、最小值 a-c（近日点） 。推导：设点为椭圆上的任意一点，左焦点为，),(00yxP)0( 12222 baby ax)0 ,(1cF ，由得，将其代入2 02 01)(|ycxPF 122 0 22 0by ax)1 (22 02 0axby并化简得。所以，当点为长轴的右端点2 02 01)(|ycxPFaxacPF01|),(00yxP重合时，；当点为长轴的左端点重)0 ,(2aAacaaacPFmax1|),(00yxP)0 ,(1aA 合时。当焦点为右焦点时，可类似推出。caaaacPF)(|min1)0 ,(2cF1. （2015 浙江卷）如图，已知椭圆上两个 1222 yx不同的点 A、B 关于直线对称。21 mxy（1）求实数 m 的取值范围；（2）求面积的最大值（O 为坐标原点） 。AOB解：（1）由题意知，可设直线 AB 的方程为。0mbxmy1联立，消去，得。 bxmyyx11222y012)1 21(22 2bxmbxm因为直线与椭圆有两个不同的交点，bxmy11222 yx所以。-042222mb设，线段 AB 的中点 ，则，),(),(2211yxByxA),(MMyxM24221mmbxx所以。将线段 AB 的中点代入直线 2122 222221mbmbxmymmbxxxMMM)2,22(222mbm mmbM，解得。-21 mxy2222 mmb由得。36 36mm或(2)令，)26, 0()0 ,26(1mt则=，212 2124)()1(1|xxxxmAB 212322 1 2242 ttt t且 O 到直线 AB 的距离为。 12122 tt d设的面积为，所以，AOB)(tS2)21(221|21)(22tdABtS22当且仅当时，等号成立。故面积的最大值为。212tAOB222.已知椭圆 4x2y21 及直线 yxm.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.解 (1)由Error! 得5x22mxm210，因为直线与椭圆有公共点，所以4m220(m21)0，解得m.5252(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由(1)知：5x22mxm210，所以x1x2，x1x2 (m21)，2m515所以|AB|x1x22y1y222x1x222x1x224x1x2 . 154 254222 mm25 108m2所以当m0时，|AB|最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为yx.反思与感悟 解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等.解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.跟踪训练 2 如图，点 A 是椭圆 C：1(ab0)的短轴位于 y 轴下方的端点，过点x2a2y2b2A 且斜率为 1 的直线交椭圆于点 B，若 P 在 y 轴上，且 BPx 轴，9.ABAP(1)若点 P 的坐标为(0,1)，求椭圆 C 的标准方程；(2)若点 P 的坐标为(0，t)，求 t 的取值范围.解 直线 AB 的斜率为 1，BAP45，即BAP 是等腰直角三角形，|.AB2AP9，ABAP|cos 45|2cos 459，ABAP2AP|3.AP(1)P(0,1)，|1，|2，OPOA即 b2，且 B(3,1).B 在椭圆上， 1，得 a212，9a214椭圆 C 的标准方程为1.x212y24(2)由点 P 的坐标为(0，t)及点 A 位于 x 轴下方，得点 A 的坐标为(0，t3)，t3b，即 b3t.显然点 B 的坐标是(3，t)，将它代入椭圆方程得：1，解得 a2.9a2t23t233t232ta2b20，(3t)20.33t232t1，即10，332t332t2t32t所求 t 的取值范围是 0t .322、椭圆中的定点和定值问题椭圆中的定点和定值问题解决时应用数形结合、分类讨论、几何法等方法。解决此类问题的方法有两种：（1）进行一般计算、推理求出结果；（2）通过检查特殊位置，探索出“定点” “定值” ，然后再进行一般性证明或计算。2.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为CxC3，最小值为 1。（1）求椭圆的标准方程；C（2）若直线与椭圆相交于 A、B 两点（A、B 不是左右顶点） ，且以 AB 为mkxyl:C直径的圆过椭圆的右顶点。求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标。Cl解：（1）根据题意可设椭圆方程，)0( 12222 baby ax由已知得，解得 ， 13caca 12ca31222b所以椭圆的标准方程为。13422 yx(2)设，联立得，),(),(2211yxByxA 13422yxmkxy 0)3(48)43(222mmkxxk则由题意得，0)3)(43(16642222mkkm即，且，04322mk 222122143)3(4438kmxxkmkxx又=，)(2121mkxmkxyy2 21212)(mxxmkxxk22243)4(3 kkm 设椭圆的右顶点为 D 以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点)0 , 2(D，即，1BDADkk1222211xy xy04)(2212121xxxxyy，化简整理得，044316 43)3(4 43)4(3222222 kmk km kkm0416722kmkm解得,且均满足。72,221kmkm04322mk当时。 的方程为，直线过定点，与已知矛盾；km21l)2( xky)0 , 2(D当时， 的方程为，直线过定点。72 1kml)72( xky)0 ,72(所以直线 过定点，定点的坐标为。l)0 ,72(