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中考数学专题讲座中考数学专题讲座 几何与函数问题几何与函数问题【知识纵横知识纵横】客观世界中事物总是相互关联、相互制约的。几何与函数问题就是从量和形的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系和相互制约性。函数与几何的综合题,对考查学生的双基和探索能力有一定的代表性,通过几何图形的两个变量之间的关系建立函数关系式,进一步研究几何的性质,沟通函数与几何的有机联系,可以培养学生的数形结合的思想方法。 【典型例题典型例题】【例例 1 1】 (上海市)(上海市)已知,(如图) 是24ABAD,90DABADBCE射线上的动点(点与点不重合) ,是线段的中点BCEBMDE(1)设,的面积为,求关于的函数解析式,并写出函数的定义域;BExABMyyx(2)如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切,求线段的长;ABDEBE(3)联结,交线段于点,如果以为顶点的三角形与相似,BDAMNAND,BME求线段的长BE【思路点拨】 (1)取中点,联结;(2)先求出 DE; (3)分二种情况讨ABHMH论。【例例 2 2】 (山东青岛)(山东青岛)已知:如图(1) ,在中,RtACB90C4cmAC ,点由出发沿方向向点匀速运动,速度为 1cm/s;点由出发沿3cmBC PBBAAQA方向向点匀速运动,速度为 2cm/s;连接若设运动的时间为() ,ACCPQ(s)t02t 解答下列问题:(1)当 为何值时,?tPQBCBADMECBADC 备用图(2)设的面积为() ,求与 之间的函数关系式;AQPy2cmyt(3)是否存在某一时刻 ,使线段恰好把的周长和面积同时平分?若存在,tPQRtACB求出此时 的值;若不存在,说明理由;t(4)如图(2) ,连接,并把沿翻折,得到四边形,那么是否存在PCPQCQCPQP C某一时刻 ,使四边形为菱形?若存在,求出此时菱形的边长;若不存在,说明理tPQP C由图(1) 图(2)【思路点拨】 (1)设 BP 为t,则AQ = 2t,证APQ ABC;(2)过点P作PHAC于H(3)构建方程模型,求t;(4)过点P作PMAC于,PNBC于N,若四边形PQP C是菱形,那么构建方程模型后,能找到对应t的值。【例例 3】3】 (山东德州)(山东德州)如图(1),在ABC中,A90,AB4,AC3,M是AB上的动点(不与A,B重合) ,过M点作MNBC交AC于点N以MN为直径作O,并在O内作内接矩形AMPN令AMx (1)用含x的代数式表示NP的面积S; (2)当x为何值时,O与直线BC相切? (3)在动点M的运动过程中,记NP与梯形BCNM重合的面积为y,试求y关于x的函AQCPBAQCPBP数表达式,并求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?图(1) 图(2) 图(3)【思路点拨】 (1)证AMN ABC;(2)设直线BC与O相切于点D,连结AO,OD,先求出 OD(用x的代数式表示) ,再过M点作MQBC 于Q,证BMQBCA;(3)先找到图形娈化的分界点,2。然后 分两种情况讨论求的最大值: xy当 02 时, 当 24 时。xx【学力训练学力训练】1、 (山东威海)(山东威海) 如图,在梯形ABCD中,ABCD,AB7,CD1,ADBC5点M,N分别在边AD,BC上运动,并保持MNAB,MEAB,NFAB,垂足分别为E,F(1)求梯形ABCD的面积; (2)求四边形MEFN面积的最大值 (3)试判断四边形MEFN能否为正方形,若能,求出正方形MEFN的面积;若不能,请说明理由 2、 (浙江温州市)(浙江温州市)如图,在中,分RtABC90A6AB 8AC DE,别是边的中点,点从点出发沿方向运动,过点作于,过ABAC,PDDEPPQBCQ点作交于,当点与点重合时,点停止运动设,QQRBAACRQCPBQxQRyABCMNDOABCMNPOABCMNPOCDABEFNMABCDER PH Q(1)求点到的距离的长;DBCDH(2)求关于的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围) ;yx(3)是否存在点,使为等腰三角形?若存在,PPQR请求出所有满足要求的的值;若不存在,请说明理由x3、 (湖南郴州)(湖南郴州)如图,平行四边形ABCD中,AB5,BC10,BC边上的高AM=4,E为 BC边上的一个动点(不与B、C重合) 过E作直线AB的垂线,垂足为F FE与DC的延长线相交于点G,连结DE,DF(1) 求证:BEF CEG(2) 当点E在线段BC上运动时,BEF和CEG的周长之间有什么关系?并说明你的理由(3)设BEx,DEF的面积为 y,请你求出y和x之间的函数关系式,并求出当x为何值时,y有最大值,最大值是多少? 4、 (浙江台州)(浙江台州)如图,在矩形中,点是边上的ABCD9AB 3 3AD PBC动点(点不与点,点重合) ,过点作直线,交边于点,再把PBCPPQBDCDQ沿着动直线对折,点的对应点是点,设的长度为,与矩形PQCPQCRCPxPQR重叠部分的面积为ABCDy(1)求的度数;CQP(2)当取何值时,点落在矩形的边上?xRABCDAB(3)求与之间的函数关系式;yx当取何值时,重叠部分的面积等于矩形面积的?x7 27DQCBP RABADC(备用图1)BADC(备用图2)几何与函数问题的参考答案几何与函数问题的参考答案M BDCEFGxA【典型例题典型例题】【例例 1 1】 (上海市)(上海市) (1)取中点,联结,ABHMH为的中点,MDEMHBE1()2MHBEAD又,ABBEMHAB,得;1 2ABMSAB MHA12(0)2yxx(2)由已知得22(4)2DEx以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切,ABDE,即11 22MHABDE2211(4)2(4)222xx解得,即线段的长为;4 3x BE4 3(3)由已知,以为顶点的三角形与相似,AND,BME又易证得DAMEBM 由此可知,另一对对应角相等有两种情况:;ADNBEM ADBBME 当时,ADNBEM ADBEADNDBE DBEBEM ,易得得;DBDE2BEAD8BE 当时,ADBBME ADBEADBDBE 又,DBEBME BEDMEB BEDMEB,即,得DEBE BEEM2BEEM DEA2222212(4)2(4)2xxxA解得,(舍去) 即线段的长为 212x 210x BE综上所述,所求线段的长为 8 或 2BE【例例 2 2】 (山东青岛)(山东青岛) (1)在 RtABC中,522ACBCAB由题意知:AP = 5t,AQ = 2t,图BAQPCH若PQBC,则APQ ABC, ACAQ ABAP 55 42tt710t(2)过点P作PHAC于HAPH ABC,BCPH ABAP3PH 55ttPH533 ttttPHAQy353)533(221 212(3)若PQ把ABC周长平分,则AP+AQ=BP+BC+CQ, 解得:)24(32)5(tttt1t若PQ把ABC面积平分,则, 即3t=3ABCAPQSS212 53t t=1 代入上面方程不成立, 不存在这一时刻t,使线段PQ把 RtACB的周长和面积同时平分(4)过点P作PMAC于,PNBC于N,若四边形PQP C是菱形,那么PQPCPMAC于M,QM=CMPNBC于N,易知PBNABC, ,ABBP ACPN54tPN, ,54tPN 54tCMQM,解得:4254 54ttt910t当时,四边形PQP C 是菱形 910t此时, ,37 533tPM98 54tCM在 RtPMC中,9505 8164 94922CMPMPCP BAQPC图MN菱形PQP C边长为9505【例例 3】3】 (山东德州)(山东德州) (1)MNBC,AMN=B,ANMC AMN ABC ,即AMAN ABAC43xAN ANx 43 = (04) S21 33 2 48MNPAMNSSx xxx(2)如图(2) ,设直线BC与O相切于点D,连结AO,OD,则AO =OD =MN21在 RtABC中,BC =522ABAC由(1)知 AMN ABC ,即 AMMN ABBC45xMN ,5 4MNx 过M点作MQBC 于Q,则 5 8ODx5 8MQODx在 RtBMQ与 RtBCA中,B是公共角, BMQBCA BMQM BCAC , 55258 324x BMx 25424ABBMMAxx x 4996当x时,O与直线BC相切 4996(3)随点M的运动,当P点落在直线BC上时,连结AP,则O点为AP的中点ABCMND图( 2)OQABCMNP图 (1)O MNBC, AMN=B,AOMAPC AMO ABP AMMB2 1 2AMAO ABAP故以下分两种情况讨论: 当 02 时, x2 83xSyPMN 当2 时, x2332.82y大大 当 24 时,设PM,PN分别交BC于E,Fx 四边形AMPN是矩形, PNAM,PNAMx 又 MNBC, 四边形MBFN是平行四边形 FNBM4x 424PFxxx又PEF ACB 2 PEFABCSPF ABS2322PEFSxMNPPEFySS222339266828xxxx 当 24 时, x29668yxx 298283x 当时,满足 24, 8 3x x2y大大综上所述,当时,值最大,最大值是 28 3x y【例例 3】 (山东德州)(山东德州) (1)MNBC,AMN=B,ANMC ABCMNP图 ( 4)OEFABCMNP 图 (3)O AMN ABC ,即AMAN ABAC43xAN ANx 43 = (04) S21 33 2 48MNPAMNSSx xxx(2)如图(2) ,设直线 BC 与O 相切于点 D,连结 AO,OD,则 AO =OD =MN21在 RtABC 中,BC =522ABAC由(1)知 AMN ABC ,即 AMMN ABBC45xMN ,5 4MNx 过 M 点作 MQBC 于 Q,则 5 8ODx5 8MQODx在 RtBMQ 与 RtBCA 中,B 是公共角, BMQBCA BMQM BCAC
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