空间中的异面直线,2018年10月19日星期五,1.空间两直线的位置关系：,定义：不同在任何一个平面内的两条直线为异面直线。,一、前课复习：,公理4:平行于同一条直线的两直线互相平行。,2.平行线的传递性：,3.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等。,推论 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那麽这两组直线所成的锐角（或直角）相等。,2.判定异面直线的方法： （1）根据异面直线的定义；应用反证法来证明。,（2）连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面不经过此点的直线是异面直线。,1.异面直线的画法：,二、新课引入：,画异面直线时，常以辅助平面作衬托，以加强直观性。,3.异面直线的判定定理：,连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。,a,A,B,已知:,求证:直线AB和a是异面直线,证明:(反证法) 略,a,b,a1,b1,4.异面直线a、b所成的角：过空间任一点O，分别引直线 a1a，b1b，则a1和b1所成的锐角（或直角）作为异面直线a、b所成的角（夹角） 。,注：如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们说两条直线互相垂直。,例：图中： （1）哪些棱所在直线与直线BA1是异面直线？ （2）求直线BA1和CC1的夹角的度数 （3）哪些棱所在直线与直线AA1垂直？,解：（1）由异面直线的判定方法可知，与直线BA1成异面直线的有直线B1C1、AD、CC1、DD1、DC、D1C1；,（2）由BB1CC1，可知B1BA等于异面直线BA1与CC1的夹角，所以BA1与CC1的夹角为450；,（3）直线AB、BC、CD、DA、A1B1、B1C1、C1D1、D1A1都与直线AA1垂直。,巩固：画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线，使它们成为：平行直线； 相交直线； 异面直线。,三、课堂练习：,如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中：哪些棱所在直线与直线AA1成异面直线且互相垂直？已知AB=3，AA1=1，求异面直线BA1与CC1所成角的度数。,答；BC、CD、B1C1 、 C1D1。,600,2. .a,b为异面直线,且分别在平面,内,若 =l,则直线l必定( ) A.分别与a,b都相交 B.至少与a,b之一相交 C.与a,b均不相交 D.至多与a,b之一相交.,例1. (1)如图的正方体中. 判定直线A1B与AC的位置关系,并加以证明,答：直线A1B与AC为异面直线,证明：,直线AC与A1B为异面直线,四、例题讲解：,（2）已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1上的点，那么MN与AB所在的直线相交吗？,O,P,Q,N,M,a,b,c,a,b,c,A,B,证明一:(直接法),证明二:(反证法),1.空间异面直线的常见画法(三种); 2.空间异面直线的证明方法：(1)反证法反设共面,直接证反设共面,分相交与平行证(2)直接法(判定定理法)。,五、课堂小结：,