主讲教师 : 邓 磊,直播课程一,数 学 模 型,数学建模与能力的培养,开设数学建模课并不是让学生学一些数学知识，其主要目的是为了提高学生的综合素质，增强应用数学知识解决实际问题的本领。,数学建模实践的每一步中都蕴含着能力上的锻炼，在调查研究阶段，需要用到观察能力、分析能力和数据处理能力等。在提出假设时，又需要用到想象力和归纳简化能力。,在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下前人或别人的工作，使自己的工作成为别人研究工作的继续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结果用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会在尽可能短的时间内查到并学会我想应用的知识的本领。,还需要你多少要有点创新的能力。这种能力不是生来就有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。,例1 某人平时下班总是按预定时间到达某处， 然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平 时提早了30分钟到达该处，于是此人就沿着 妻子来接他的方向步行回去并在途中遇到了 妻子，这一天，他比平时提前了10分钟到家， 问此人共步行了多长时间？,一些简单实例,似乎条件不够哦。？,请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设？,换一种想法，问题就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍载着他开往会合地点，那么这一天他就不会提前回家了。提前的10分钟时间从何而来？,显然是由于节省了从相遇点到会合点，又从会合点返回相遇点这一段路的缘故，故由相遇点到会合点需开5分钟。而此人提前了30分钟到达会合点，故相遇时他已步行了25分钟。,分析 本题多少有点象数学中解的存在性条件及证明，当然 ，这里的情况要简单得多。,假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同一天由B去A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。,（请自己据此给出严格证明）,设想一下黄灯的作用是什么，不难看出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上要转红灯了，假如你能停住，请立即停车。停车是需要时间的，在这段时间内，车辆仍将向前行驶一段距离 L。这就是说，在离街口距离为 L处存在着一条停车线（尽管它没被画在地上），见下图。对于那些黄灯亮时已过线的车辆，则应当保证它们仍能穿过马路。,盘子有大小吗 ?是什么样的盘子？盘子是怎样洗的 ? 不妨假设我们了解到：盘子大小相同，均为瓷质菜盘，洗涤时先将一叠盘子浸泡在热水中，然后一一清洗。,不难看出，是水的温度在决定洗盘子的数量 。盘子是先用冷水洗过的，其后可能还会再用清水冲洗，更换热水并非因为水太脏了，而是因为 水不够热了。,那么热水为什么会变冷呢？假如你想建一个较精细的模型，你当然应当把水池、空气等吸热的因素都考虑进去，但餐馆老板的原意只是想了解一下一池热水平均大约可以洗多少盘子。,不妨可以提出以下 简化假设： （1）水池、空气吸热不计，只考虑盘子吸热，盘子的大小、材料相同。 （2）盘子初始温度与气温相同，洗完后的温度与水温相同。 （3）水池中的水量为常数，开始温度为T1，最终换水时的温度为 T2。 （4）每个盘子的洗涤时间T是一个常数。（这一假设甚至可以去掉不要）,根据上述简化假设，利用热量守衡定律，餐馆老板的问题就很容易回答了，当然，你还应当调查一下一池水的质量是多少，查一下瓷盘的吸热系数和质量等。,可见 ，假设条件的提出不仅和你研的问题有关，还和你准备利用哪些知识 、准备建立什么样的模型以及你准备研究的深入程度有关，即在你提出假设时，你建模的框架已经基本搭好了。,设砖块是均质的，长度与重量均为1，其重心在中点1/2砖长处，现用归纳法推导。,由第 n 块砖受到的两个力的力矩相等，有 1/2-Zn= (n1) Zn故Zn =1/(2n)，从而上面 n 块砖向右推出的总距离为 ，,故砖块向右可叠至任意远，这一结果有点出人意料。,A B发出车次显然是一样 多的，否则一处的车辆 将会越积越多。,由于距离不同，设A到C行驶31分钟，B到C要行驶30分钟，考察一个时间长度 为10分钟的区间，例如，可以从 A方向来的车驶离C站时开始，在其后的9分钟内到达的乘客见到先来的车均为B开往A的，仅有最后1分钟到达的乘客才见到由A来的车先到。由此可见，如果此人到C站等车的时间是随机的，则他先遇上B方向来的车的概率为 90% 。,点光源发出的射线在各点处的照度与其到点光源的距离的平方成反比，即,方法一 黑匣子所在方向很容易确定，关键在于确定距离 。设在同一方向不同位置检测了两次，测得的照度分别为I1和I2，两测量点间的距离为 a，则有,注意：在方法一中，两检测点与黑匣子位于一直线上，这一点比较容易做到，主要缺点是结果对照度测量的精度要求较高，很少的误差会造成结果的很大变化，即敏感性很强。,方法二 在A点测得黑匣子方向后，到B点再测方向，AB 距离为a ，BAC=，ABC=，利用正弦定理得出 d = asin/sin (+) 。需要指出的是，当黑匣子位于较远处而又较小时，+可能非常接近（ACB接近于0），而sin（+）又恰好位于分母上，因而对结果的精确性影响也会很大，为了使结果较好，应使a也相对较大。,由于这类虚拟的问题已经理想化了，所以不必在作假设。安全渡河问题可以视为一个多步决策过程。每一步，即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶向此岸，都要对船上的人员（商人、随从各几人）作出决策，在保证安全的前提下（两岸的商人数都不比随从数少），在有限步内使人员全部过河。,用状态（变量）表示某一岸的人员状况，决策（变量）表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律。问题转化为在状态的允许变化范围内（即安全渡河条件），确定每一步的决策，达到渡河的目标。,模型构成,xk第k次渡河前此岸的商人数,yk第k次渡河前此岸的随从数,xk, yk=0,1,2,3;k=1,2,sk=(xk , yk)过程的状态,S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2,S 允许状态集合,uk第k次渡船上的商人数,vk第k次渡船上的随从数,dk=(uk , vk)决策,D=(u , v) u+v=1, 2 允许决策集合,uk, vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk dk,+(-1)k,状态转移律,求dkD(k=1,2, n), 使skS按转移律 由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0).,多步决策问题,模型求解,穷举法 编程上机,图解法,状态s=(x,y) 16个格点,允许决策D 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.,s1,sn+1,d1, d11给出安全渡河方案,评注和思考,规格化方法, 易于推广,考虑4名商人各带一随从的情况,允许状态S,S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2,D=(u , v) u+v=1, 2,请你思考 (1) 若船的情况不变，则2名商人2个随从如何安全渡河？(2) m名商人m个随从(m4)能否安全渡河？ (3) 一般地，m个商人n个随从,mn能否安全渡河? 若能,怎样渡河?,解答： (1) (2,2)(1,1) or (2,0)(2,1)(0,1) (1,1)(0,0)(如下图),(2) m名商人m个随从(m4)无法安全渡河,如m=4时的图(如下图)，d7就无法作不重复的转移。其他情况也一样。,(3) 当 x=0,m时， y=0,1,2,n均可，而当 x=1,2,m-1时, 此岸要求 xy ,对岸要求m-x n-y ,综合即0 x-y m-n,此时商人们必能安全渡河。若以m=4,n=3为例，则求解过程如下图所示：,请您探索 阿拉伯夫妻过河问题 有三对阿拉伯夫妻要过河，船最多可载两人。 约束条件是根据阿拉伯法律，任一女子不得在其丈夫不在场的情况下与另外男子在一起，问此时这三对夫妻能否过河? 四对夫妻呢？,人、狗、鸡、米过河问题 某人要带一条狗、一只鸡、一箩米过河，但小船除需要人划外，最多只能载一物过河，而当人不在场时，狗要咬鸡、鸡要吃米。问此人应如何过河?,课间休息！,