第五章 信道编码定理,错误概率与译码规则 错误概率与编码方法 信道编码定理,第五章 作业 教材第141页142页,5.1， 5.3,信道编码 目的：提高抗干扰能力，使差错率最小。 实质：增加冗余度，扩大信号空间，增大信号间距离。 重要意义：通过信道编码的方法，可以用不可靠的信道实现可靠的传输。,编码器：编码函数，完成映射编码器的输入：码字分别为：编码后的信息传输率：码字长为 n物理意义：每个码元所能携带的最大信息量。 好码：在相同的差错控制（纠错能力）下， 越大，则相应的码越好。问题：R 能否无限制提高? 如何衡量纠错能力？,例：二元对称信道译码规则对错误概率的影响 译码器A译码规则：,错误概率与译码规则,分析则在此译码器下，平均错误概率为（设输入为等概）,译码器B译码规则：分析则在此译码器下，平均错误概率为（设输入为等概）,结论：错误概率不仅与信道的统计特性有关，而且与译码规则有关。我们来定义译码规则 设信道的输入符号集为X= ai，i =1，2，r ； 输出符号集为Y= bj，j =1，2，s。 制定译码规则就是设计一个单值函数F（bj），它对于 每一个输出符号bj确定一个唯一的输入符号ai与其对应。 即 F（bj）= ai i =1，2，r j =1，2，s 注：对于同一有噪信道共有 r s 种译码规则可供选择。,例5.1：可设计译码准则 译码准则 A： 译码准则 B：译码规则总数为： r s = 27,目标：在 r s 个规则中找到理想的一个。 原则：使平均错误概率最小。平均错误概率 PE 如何计算？收到符号bj 条件下译码正确的条件概率为,平均错误概率PE ： 条件错误概率 对输出空间Y 取统计平均物理意义：译码后平均收到一个符号所产生的错误的大小要使PE 最小就应该选择pF(bj)|bj为最大 。,最大后验概率准则（最小错误概率准则）选择译码函数：译码：将每一个输出符号译成具有最大后验概率的 输入符号，则信道的错误概率此时最小。分析：,则最大后验概率准则可另表述为选择译码函数 使成立最大似然译码准则（最大后验概率准则特例） 设输入符号的先验概率等概，选择译码函数使成立译码：当收到 bj 后，译成信道矩阵中第 j 列中最大 的元素所对应的信源符号。,最大后验概率准则：依赖于先验概率p(ai)和信道传递概率p(bj|ai)选定译码函数。最大似然译码准则：直接从信道矩阵的传递概率中去选定译码函数。当先验概率p(ai)为等概率分布时，最大似然译码准则与最大后验概率准则等价。平均错误概率PE与译码规则（译码函数）有关。而译码规则又由信道特性来决定。费诺不等式 H（X | Y）H（PE）+ PE log (r1),重复发送大数判决规则,错误概率与编码方法,编码1：将每个码元重复三次 纠正任一位上的错误设码字记为 由编码方法知“择多译码”规则的依据： 连续出现两个错误的概率 远远小于出现一个错误的概率。,编码2：将每个码字重复三次 纠正任一位上的错误 纠正连续三位和三位以下码元的错误由编码方法知例 发送的码字为 0 1 0 0 1 0 0 1 0干扰后收到为 0 1 1 1 0 0 0 1 0此时,以上这两种重复码编码后的信息传输率相同为但纠错能力不同，平均错误概率不同。如何选择编码规则呢？例：对 4个等概消息编码,最大似然译码规则下，计算平均错误概率PE=？,在选择编码规则时，要使码字之间的最小距离Dmin越大越好。结论：错误概率与编码方法有关。,能不能找到一种编码方法使PE相当低（可靠性高），而R却保持在一定水平（有效性较高）呢？定理5.1 香农第二定理（信道编码定理） 设某信道有r个输入符号，s个输出符号，信道容量为C。当信息传输率RC时，只要码长n足够长，总可以在输入的集合中找到M个码字（代表M个等可能性的消息）组成的一个码（ M2n(C -)，而是一任意小的正数 ）和相应的译码规则，使信道输出的错误概率PE任意小。定理5.2 （信道编码逆定理）设某信道有r个输入，s个输出，信道容量为C，令为任意小的正数。若选用码字个数M = 2n(C +)，则无论n多大也不能找到一种编码，使译码错误概率任意小。,信道编码定理,译码规则 最小错误概率准则 最大似然译码准则 平均错误概率的计算编码定理的意义（香农第二定理）,第五章 小结,