学案学案 67 二项分布及其应用二项分布及其应用导学目标导学目标： 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2.理解 n 次独立重复试验的模型 及二项分布.3.能解决一些简单的实际问题自主梳理 1条件概率及其性质(1)设 A，B 为两个事件，且 P(A)0，称 P(B|A)为在事件 A 发生的条件下，事件PABPAB 发生的条件概率 (2)条件概率具有的性质： _； 如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(BC|A)_. 2相互独立事件 (1)设 A，B 为两个事件，若 P(AB)P(A)P(B)，则称事件 A 与事件 B_. (2)若 A 与 B 相互独立，则 P(B|A)_， P(AB)_. (3)若 A 与 B 相互独立，则_，_，_也 都相互独立 (4)若 P(AB)P(A)P(B)，则_ 3二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这 种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概 率都是一样的 (2)在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的 概率为 p，则 P(Xk)C pk(1p)nk，k0,1,2，n.此时称随机变量 X 服从二项分k n布记作_ 自我检测1两人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为 ，则密码被译出的概率为( )1514 A0.45 B0.05 C0.4 D0.62(2011三明月考)一学生通过一种英语听力测试的概率是 ，他连续测试两次，那么其12 中恰有一次通过的概率是( )A. B. C. D.141312343已知随机变量 X 服从二项分布 XB，则 P(X2)等于( )(6，13)A. B. C. D.1316424313243802434已知 P(AB)，P(A) ，则 P(B|A)等于( )31035A. B. C. D.95012910145(2011临沂调研)一次测量中出现正误差和负误差的概率都是 ，在 5 次测量中至少 312 次出现正误差的概率是( )A. B. C. D.516582312探究点一 条件概率 例 1 在 100 件产品中有 95 件合格品，5 件不合格品现从中不放回地取两次，每次任 取一件试求： (1)第一次取到不合格品的概率；(2)在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率变式迁移 1 1 号箱中有 2 个白球和 4 个红球，2 号箱中有 5 个白球和 3 个红球，现随机 地从 1 号箱中取出一球放入 2 号箱，然后从 2 号箱随机取出一球，问： (1)从 1 号箱中取出的是红球的条件下，从 2 号箱取出红球的概率是多少？ (2)从 2 号箱取出红球的概率是多少？探究点二 相互独立事件 例 2 (2011宁波模拟)甲、乙两名射击运动员，分别对一目标射击一次，甲射中的概率 为 0.8，乙射中的概率为 0.9，求 (1)两人都射中的概率； (2)两人中恰有一人射中的概率； (3)两人中至少一人射中的概率； (4)两人中至多一人射中的概率变式迁移 2 甲、乙、丙三人分别独立做一道题，甲做对的概率是 ，三人都做对的概率12是，三人全做错的概率是 .12414 (1)求乙、丙两人各自做对这道题的概率； (2)求甲、乙、丙三人恰有一人做对这道题的概率探究点三 独立重复试验与二项分布 例 3 (2010天津汉沽一中月考)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入 口处，小球将自由下落，小球在下落过程中，将 3 次遇到黑色障碍物，最后落入 A 袋或 B 袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是 .12 (1)求小球落入 A 袋中的概率 P(A)； (2)在容器入口处依次放入 4 个小球，记 为落入 A 袋中小球的个数，试求 3 的概 率变式迁移 3 粒子 A 位于数轴 x0 处，粒子 B 位于数轴 x2 处，这两颗粒子每隔 1 秒钟向左或向右移动一个单位，设向右移动的概率为 ，向左移动的概率为 .2313 (1)求 4 秒后，粒子 A 在点 x2 处的概率； (2)求 2 秒后，粒子 A、B 同时在 x2 处的概率1一般地，每一个随机试验都在一定的条件下进行，而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验的基础上，再加上一定的条件)，求另一事件在此条件下发生的概率求条件概率，必须理解条件概率的定义及公式，公式中的P(AB)是指事件 A、B 同时发生的概率2一般地，事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响，即 P(B|A)P(B)，这时，我们称两个事件 A、B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件事件的独立是一种对等的性质如果事件 A 对事件 B 独立，那么就可以说事件 A 与 B 相互独立显然，必然事件与任何事件是相互独立的3独立重复试验：若 n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这 n 次试验是独立的4独立重复试验概率公式的特点：关于 Pn(k)C pk(1p)nk，它是 n 次独立重复试验k n中某事件 A 恰好发生 k 次的概率其中，n 是重复试验次数，p 是一次试验中某事件 A发生的概率，k 是在 n 次独立试验中事件 A 恰好发生的次数，需要弄清公式中 n、p、k的意义，才能正确运用公式(满分：75 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1(2010湖北)投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件 A， “骰子向上的点数是 3”为事件 B，则事件 A，B 中至少有一件发生的概率是( )A. B.51212C. D.71234 2(2011温州月考)位于坐标原点的一个质点 P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是 .质点 P 移动五次后位于点12 (2,3)的概率是( )A.5 BC5(12)2 5(12)CC3 DC C52 5(12)2 5 3 5(12) 3设每门高射炮击中飞机的概率为 0.6，今有一架飞机来犯，问需要几门高射炮射击， 才能至少以 99%的概率击中它( ) A3 B4 C5 D6 4(2011合肥模拟)一个电路如图所示，A、B、C、D、E、F 为 6 个开关，其闭合的概率都是 ，且是相互12 独立的，则灯亮的概率是( )A. B.1645564C. D.18116 5同时抛掷三颗骰子：设 A“三个点数都不相同” ，B“至少有一个 6 点” ，则 P(B|A)为( )A. B.126091C. D.51891216二、填空题(每小题 4 分，共 12 分) 6(2010湖北)一个病人服用某种新药后被治愈的概率为 0.9，则服用这种新药的 4 个病 人中至少 3 人被治愈的概率为_(用数字作答) 7(2010重庆)加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为、 、 ，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为_170169168 8(2010福建)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的 5 个问题中，选手若能连续正 确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率等 于_ 三、解答题(共 38 分) 9(12 分)一名学生骑车从家到学校的途中有 6 个路口，假设他在每个路口遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都为 .求：13 (1)这名学生在途中遇到红灯次数 的分布列； (2)这名学生首次遇到红灯或到达目的地而停车时所经过了的路口数 的分布列；(3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率10(12 分)(2011六安模拟)设 b 和 c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量 表示方程 x2bxc0 实根的个数(重根按一个计) (1)求方程 x2bxc0 有实根的概率； (2)求 的分布列； (3)求在先后两次出现的点数中有 5 的条件下，方程 x2bxc0 有实根的概率11(14 分)甲、乙两个乒乓球选手进行比赛，他们的水平相当，规定“七局四胜” ，即先 赢四局者胜，若已知甲先赢了前两局，求：(1)乙取胜的概率； (2)比赛打满七局的概率； (3)设比赛局数为 ，求 的分布列学案学案 67 二项分布及其应用二项分布及其应用自主梳理 1(2)0P(B|A)1 P(B|A)P(C|A) 2.(1)相互独立 (2)P(B) P(B|A)P(A) P(A) P(B) (3)A 与 与 B 与 (4)A 与 B 相互独立 3.(2)XB(n，p)BAAB自我检测 1C 2.C 3.D 4.B 5.D 课堂活动区例 1 解题导引 求条件概率的通常方法是利用条件概率公式 P(B|A).这就需要求PABPAP(AB)和 P(A)如果事件具有等可能特点，还可以看作是基本事件空间改变后的古典概型，利用 P(B|A)来计算nABnA解 设 A第一次取到不合格品，B第二次取到不合格品(1)P(A).5100120(2)方法一 根据条件概率的定义计算，需要先求出事件 AB 的概率：P(AB)，5100499所以有 P(B|A).PABPA51004995100499方法二 事件 A 发生的条件下，事件空间包含的基本事件个数为 nA100199 个事件 A 发生的条件下，事件 B 包含 4 个基本事件P(B|A).nABnA499变式迁移 1 解 记事件 A：最后从 2 号箱中取出的是红球；事件 B：从 1 号箱中取出的是红球则 P(B) ，P( )1P(B) ，42423B13(1)P(A|B) .318149(2)P(A| ) ，B38113P(A)P(AB)P(A )BP(A|B)P(B)P(A| )P( ) .BB492313131127例 2 解题导引 (1)审题应注意关键的词句，例如“至少有一个发生” 、 “至多有一个发生” 、 “恰好有一个发生”等(2)复杂事件的概率拆分为几个互斥事件的和事件，然后利用互斥事件的概率加法公式进行求解(3)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：利用相互独立事件的概率乘法公式；正面计数较繁或难以入手时，可以从对立事件入手计算解 (1)记事件 A：甲射中目标；事件 B：乙射中目标两人都射中的概率为P(AB)P(A)P(B)0.80.90.72.(2)两人中恰有一人射中包括“甲中乙不中” 、 “甲不中乙中”两种情况，其对应事件为互斥事件，则P(A )P( B)P(A)P( )P( )P(B)BABA0.8(10.9)(10.8)0.90.080.180.26.(3)方法一 两人至少有一人射中包括“两人都射中”和“两人有一人射中”两种情况，其概率为 P(AB)P( B)P(A )P(A)P(B)P( )P(B)P(A)P( )ABAB0.720.26