8.3 平行关系平行关系1 直线与平面平行的判定与性质判定定义定理性质图形条件aa，b，abaa，a，b结论abaab2 面面平行的判定与性质判定定义定理性质图形条件a，b，abP，a，b，a，b，a结论aba1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行( )(2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面( )(3)若直线 a 与平面 内无数条直线平行，则 a.( )(4)空间四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AB，AD 的中点，则 EF平面 BCD.( )(5)若 ，直线 a，则 a.( )2 若直线 l 不平行于平面 ，且 l，则( )A 内的所有直线与 l 异面B 内不存在与 l 平行的直线C 内存在唯一的直线与 l 平行D 内的直线与 l 都相交答案 B解析 由题意知，直线 l 与平面 相交，则直线 l 与平面 内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项 B 是正确的3 下列命题中，错误的是( )A平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行B平行于同一个平面的两个平面平行C若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行D若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面答案 C解析 由面面平行的判定定理和性质知 A、B、D 正确对于 C，位于两个平行平面内的直线也可能异面4 已知平面 平面 ，直线 a，有下列命题：a 与 内的所有直线平行；a 与 内无数条直线平行；a 与 内的任意一条直线都不垂直其中真命题的序号是_答案 解析 因为 ，a，所以 a，在平面 内存在无数条直线与直线 a 平行，但不是所有直线都与直线 a 平行，故命题为真命题，命题为假命题在平面 内存在无数条直线与直线 a 垂直，故命题为假命题5 如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中，AB2，点 E 为 AD 的中点，点 F在 CD 上若 EF平面 AB1C，则线段 EF 的长度等于_答案 2解析 因为直线 EF平面 AB1C，EF平面 ABCD，且平面 AB1C平面 ABCDAC，所以 EFAC，又 E 是 DA 的中点，所以 F 是 DC 的中点，由中位线定理可得 EF AC，12又在正方体 ABCDA1B1C1D1中，AB2，所以 AC2，所以 EF.22题型一 直线与平面平行的判定与性质例 1 (2012山东)如图，几何体 EABCD 是四棱锥，ABD 为正三角形，CBCD，ECBD.(1)求证：BEDE；(2)若BCD120，M 为线段 AE 的中点，求证：DM平面 BEC.思维启迪 (1)利用等腰EDB 底边中线和高重合的性质证明；(2)根据线面平行的判定或两个平面平行的性质证明线面平行证明 (1)如图，取 BD 的中点 O，连接 CO，EO.由于 CBCD，所以 COBD.又 ECBD，ECCOC，CO，EC平面 EOC，所以 BD平面 EOC，因此 BDEO.又 O 为 BD 的中点，所以 BEDE.(2)方法一 如图，取 AB 的中点 N，连接 DM，DN，MN.因为 M 是 AE 的中点，所以 MNBE.又 MN平面 BEC，BE平面 BEC，所以 MN平面 BEC.又因为ABD 为正三角形，所以BDN30.又 CBCD，BCD120，因此CBD30.所以 DNBC.又 DN平面 BEC，BC平面 BEC，所以 DN平面 BEC.又 MNDNN，所以平面 DMN平面 BEC.又 DM平面 DMN，所以 DM平面 BEC.方法二 如图，延长 AD，BC 交于点 F，连接 EF.因为 CBCD，BCD120，所以CBD30.因为ABD 为正三角形，所以BAD60，ABC90，因为AFB30，所以 AB AF.12又 ABAD，所以 D 为线段 AF 的中点连接 DM，由于点 M 是线段 AE 的中点，因此 DMEF.又 DM平面 BEC，EF平面 BEC，所以 DM平面 BEC.思维升华 判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性质定理(，aa)；(4)利用面面平行的性质(，a，aa)如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，E，H 分别为棱A1B1，D1C1上的点，且 EHA1D1，过 EH 的平面与棱 BB1，CC1相交，交点分别为 F，G，求证：FG平面 ADD1A1.证明 因为 EHA1D1，A1D1B1C1，EH平面 BCC1B1，B1C1平面 BCC1B1，所以 EH平面 BCC1B1.又平面 FGHE平面 BCC1B1FG，所以 EHFG，即 FGA1D1.又 FG平面 ADD1A1，A1D1平面 ADD1A1，所以 FG平面 ADD1A1.题型二 平面与平面平行的判定与性质例 2 如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G 四点共面；(2)平面 EFA1平面 BCHG.思维启迪 要证四点共面，只需证 GHBC；要证面面平行，可证一个平面内的两条相交直线和另一个平面平行证明 (1)GH 是A1B1C1的中位线，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G 四点共面(2)E、F 分别为 AB、AC 的中点，EFBC，EF平面 BCHG，BC平面 BCHG，EF平面 BCHG.A1G 綊 EB，四边形 A1EBG 是平行四边形，A1EGB.A1E平面 BCHG，GB平面 BCHG.A1E平面 BCHG.A1EEFE，平面 EFA1平面 BCHG.思维升华 证明面面平行的方法：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行” 、 “线面平行” 、 “面面平行”的相互转化如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，S 是 B1D1的中点，E、F、G 分别是 BC、DC、SC 的中点，求证：(1)直线 EG平面 BDD1B1；(2)平面 EFG平面 BDD1B1.证明 (1)如图，连接 SB，E、G 分别是 BC、SC 的中点，EGSB.又SB平面 BDD1B1，EG平面 BDD1B1，直线 EG平面 BDD1B1.(2)连接 SD，F、G 分别是 DC、SC 的中点，FGSD.又SD平面 BDD1B1，FG平面 BDD1B1，FG平面 BDD1B1，且 EG平面 EFG，FG平面 EFG，EGFGG，平面 EFG平面 BDD1B1.题型三 平行关系的综合应用例 3 如图所示，在四面体 ABCD 中，截面 EFGH 平行于对棱 AB 和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？思维启迪 利用线面平行的性质可以得到线线平行，可以先确定截面形状，再建立目标函数求最值解 AB平面 EFGH，平面 EFGH 与平面 ABC 和平面 ABD 分别交于 FG、EH.ABFG，ABEH，FGEH，同理可证 EFGH，截面 EFGH 是平行四边形设 ABa，CDb，FGH ( 即为异面直线 AB 和 CD 所成的角或其补角)又设 FGx，GHy，则由平面几何知识可得， ，xaCGBCybBGBC两式相加得 1，即 y (ax)，xaybbaSEFGHFGGHsin x (ax)sin bax(ax)bsin ax0，ax0 且 x(ax)a 为定值，当且仅当 xax 时，x(ax)，此时 x ，y .bsin aabsin 4a2b2即当截面 EFGH 的顶点 E、F、G、H 为棱 AD、AC、BC、BD 的中点时截面面积最大思维升华 利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决如图所示，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 a 的正方形，侧棱 PA底面 ABCD，在侧面 PBC 内，有 BEPC 于 E，且BEa，试在 AB 上找一点 F，使 EF平面 PAD.63解 在平面 PCD 内，过 E 作 EGCD 交 PD 于 G，连接 AG，在 AB 上取点 F，使 AFEG，EGCDAF，EGAF，四边形 FEGA 为平行四边形，FEAG.又 AG平面 PAD，FE平面 PAD，EF平面 PAD.F 即为所求的点又 PA面 ABCD，PABC，又 BCAB，BC面 PAB.PBBC.PC2BC2PB2BC2AB2PA2.设 PAx 则 PC，2a2x2由 PBBCBEPC 得：aa，a2x22a2x263xa，即 PAa，PCa.3又 CE a，a263a233 ， ，PEPC23GECDPEPC23即 GE CD a，AF a.232323立体几何中的探索性问题典例：(12 分)如图，在四面体 PABC 中，PCAB，PABC，点D，E，F，G 分别是棱 AP，AC，BC，PB 的中点(1)求证：DE平面 BCP；(2)求证：四边形 DEFG 为矩形；(3)是否存在点 Q，到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由思维启迪 (1)利用 DEPC 证明线面平行；(2)利用平行关系和已知 PCAB 证明 DEDG；(3)Q 应为 EG 中点规范解答(1)证明 因为 D，E 分别是 AP，AC 的中点，所以 DEPC.又因为 DE平面 BCP，所以 DE平面 BCP.3 分(2)证明 因为 D，E，F，G 分别为 AP，AC，BC，PB 的中点，所以 DEPCFG，DGABEF.所以四边形 DEFG 为平行四边形又因为 PCAB，所以 DEDG.所以四边形 DEFG 为矩形7 分(3)解 存在点 Q 满足条件，理由如下：8 分连接 DF，EG，设 Q 为 EG 的中点，由(2)知，DFEGQ，且 QDQEQFQG EG.12分别取 PC，AB 的中点 M，N，连接 ME，EN，NG，MG，MN.与(2)同理，可证四边形 MENG 为矩形，其对角线交点为 EG 的中点Q，且 QMQN EG，12所以 Q 为满足条件的点12 分解决立体几何中的探索性问题的步骤：第一步：写出探求的最后结论第二步：证明探求结论的正确性第三步：给出明确答案第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范温馨提醒 (1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定