第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算1向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模(2)零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于 1 个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求 a 与 b 的相反向量b 的和的运算叫做 a 与 b 的差三角形法则aba(b)数乘求实数 与向量 a的积的运算(1)|a|a|；(2)当 0 时，a 的方向与a 的方向相同；当 0 时，a 的方向与 a 的方向相反；当 0 时，a0( a)()a；()aaa；(ab)ab 3共线向量定理向量 a(a0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 ，使得 ba.1作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；2在向量共线的重要条件中易忽视“a0” ，否则 可能不存在，也可能有无数个；3要注意向量共线与三点共线的区别与联系试一试1若向量 a 与 b 不相等，则 a 与 b 一定( )A有不相等的模 B不共线C不可能都是零向量 D不可能都是单位向量答案：C 2若菱形 ABCD 的边长为 2，则|_.AB CB CD 解析：|2.AB CB CD AB BC CD AD 答案：21向量的中线公式若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内一点，则 ()OP 12OA OB 2三点共线等价关系A，P，B 三点共线 (0)(1t)t (O 为平面内异于AP AB OP OA OB A，P，B 的任一点，tR)xy (O 为平面内异于 A，P，B 的任一点，OP OA OB xR，yR，xy1)练一练1D 是ABC 的边 AB 上的中点，则向量等于( )CD A BBC 12BA BC 12BA C DBC 12BA BC 12BA 答案：A 2已知 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 ab 与(b3a)共线，则 _.解析：由题意知 abk(b3a)，所以Error!Error!解得Error!Error!答案：13考点一向量的有关概念1.给出下列命题：若|a|b|，则 ab；若 A，B，C，D 是不共线的四点，则是四边形 ABCD 为平行四边形的充AB DC 要条件；若 ab，bc，则 ac；ab 的充要条件是|a|b|且 ab；若 ab，bc，则 ac.其中正确命题的序号是( )A BC D解析：选 A 不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确，|且，AB DC AB DC AB DC 又 A，B，C，D 是不共线的四点，四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则且|，因此，.AB DC AB DC AB DC 正确ab，a，b 的长度相等且方向相同，又 bc，b，c 的长度相等且方向相同，a，c 的长度相等且方向相同，故 ac.不正确当 ab 且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到 ab，故|a|b|且 ab 不是ab 的充要条件，而是必要不充分条件不正确考虑 b0 这种特殊情况综上所述，正确命题的序号是.故选 A.2设 a0为单位向量，若 a 为平面内的某个向量，则 a|a|a0；若 a 与 a0平行，则a|a|a0；若 a 与 a0平行且|a|1，则 aa0.上述命题中，假命题的个数是( )A0 B1C2 D3解析：选 D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若 a 与 a0平行，则 a 与 a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是 3.类题通法平面向量中常用的几个结论(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时不要把它与函数图像的平移混为一谈(3)是与 a 同向的单位向量，是与 a 反向的单位向量a|a|a|a|考点二向量的线性运算典例 (1)如图，在正六边形 ABCDEF 中，( )BA CD EF A0 BBE C DAD CF (2)(2013江苏高考)设 D，E 分别是ABC 的边 AB，BC 上的点，AD AB，BE BC.1223若12 (1，2为实数)，则 12的值为_DE AB AC 解析 (1)如图，在正六边形 ABCDEF 中，CD AF BF CE BA CD EF BA AF EF BF EF CE EF .CF (2)由题意 ()DE DB BE 12AB 23BC 12AB 23BA AC 16AB 23，AC 所以 1 ，2 ，即 12 .162312答案 (1)D (2)12若(2)条件变为：若2，AD DB CD 13CA CB 则 _.解析：，CD CA AD CD CB BD 2.CD CA CB AD BD 又2，AD DB 2CD CA CB 13AB ()CA CB 13CB CA .23CA 43CB ，即 .CD 13CA 23CB 23答案：23类题通法在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解针对训练若 A，B，C，D 是平面内任意四点，给出下列式子：；AB CD BC DA AC BD BC AD .其中正确的有( )AC BD DC AB A0 个 B1 个C2 个 D3 个解析：选 C 式的等价式是，左边，右边AB BC DA CD AB CB ，不一定相等；式的等价式是DA DC ，成立；式的等价式是AC BC AD BD AC CB AD DB AB AC ，成立DC AB BD AD AD 考点三共线向量定理的应用典例 设两个非零向量 a 与 b 不共线，(1)若ab，2a8b，3(ab)，AB BC CD 求证：A，B，D 三点共线(2)试确定实数 k，使 kab 和 akb 共线解 (1)证明：ab，2a8b，3(ab)，AB BC C