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第八节第八节 条件概率与事件的独立性条件概率与事件的独立性知识梳理 一、相互独立事件一、相互独立事件 1相互独立事件的定义:事件A(或B)是否发生对事件 B(或A)发生的概率_,这样的两个事件叫做 _事件若A与B是相互独立事件,则A与_,与A_,与_也相互独立A2相互独立事件同时发生的概率:P(AB) _. 若事件A1,A2,An相互独立, 则 _答案:答案:1.没有影响 相互独立 B BB2.P(A)P(B) P(A1A2An)= P(A1)P(A2)P(An)二、条件概率及其性质二、条件概率及其性质 1条件概率的定义:设A,B为两个事件,且P(A)0,称 P(B|A)_为在事件A发生的条件下,事件B发生的概 率把P(B|A)读作“A发生的条件下B的概率” 2条件概率的性质:(1)条件概率具有一般概率的性质, 即 0P(B|A)1;(2)若B和C是两个互斥事件,则P(BC|A) _.了解条件概率和两个事件相互独立的概念,并能解决一些简单的实际问 题.答案:答案:1. 2.P(B|A)+P(C|A)P(AB) P(A)基础自测1一学生通过英语听力测试的概率是 ,他连续测试两次,3 4 那么其中恰好一次通过的概率是( )A. B. C. D.3 45 83 83 16解析:解析:两次测试恰有一次通过,有两种情况:第一次通过 第二次没通过;第二次通过第一次没通过,所以所求概率为P .故选 C.3 4(13 4) (13 4)3 43 8 答案:答案:C2已知盒中装有 3 只螺口与 7 只卡口灯泡,这些灯泡的外 形与功率都相同且灯口向下放着,现需要一只卡口灯泡,电工 师傅每次从中任取一只并不放回,则在他第 1 次抽到的是螺口 灯泡的条件下,第 2 次抽到的是卡口灯泡的概率为 ( )A. B. C. D.3 102 97 87 9解析:解析:设事件A为“第 1 次抽到是螺口灯泡” ,事件B为“第 2 次抽到是卡口灯泡” ,则P(A),P(AB)3 10 .在已知第 1 次抽到螺口灯泡的条件下,第 23 107 921 907 30次抽到卡口灯泡的概率为P(B|A) .P(AB) P(A)7 30 3 107 9 答案:答案:D3在 10 个球中有 6 个红球,4 个白球(各不相同),不放回的依次摸出 2 个球,在第一次摸出红球的条件下,第 2 次也 摸出红球的概率是_答案:答案:5 94.如图,EFGH是以O为圆心,半径为 1 的圆的内接正方形, 将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方 形EFGH内” ,B表示事件“豆子落在扇形OHE阴影部分内” ,则 (1)P(A)_;(2)P(B|A)_.解析:解析:(1)S圆,S正方形()22,根据几何概型的求2法有:P(A).S正方形 S圆2 (2)由EOH90,SEOHS正方形 ,故P(B|A)1 41 2 .SEOH S正方形1 2 21 4答案:答案:(1) (2) 2 1 41甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢 一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军若两队胜每局 的概率相同,则甲队获得冠军的概率为( )A. B. C. D.1 23 52 33 4解析:解析:根据互斥事件概率与独立事件概率得:第一局甲就胜了,概率为 ;另一种情况为第一局甲输了,第二局甲胜了,1 2概率为 ,所以甲胜的概率为 .故选 D.(1 2) (1 2)1 41 21 43 4 答案:答案:D2从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件A“取到的 2 个数之和为偶数” ,事件B“取到的 2 个数均为偶数” ,则 P(B|A)( )A. B. C. D.1 81 42 51 2解析:解析:由于n(A)1C 4,n(AB)1,所以P(B|A)2 3 .故选 B.n(AB) n(A)1 4 答案:答案:B3(2013大纲全国卷)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛, 其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判设各局中双方获胜的概率均为 ,各局比赛的结1 2 果相互独立,第 1 局甲当裁判 (1)求第 4 局甲当裁判的概率; (2)X表示前 4 局中乙当裁判的次数,求X的数学期望解析:解析:(1)记A1表示事件“第 2 局结果为甲胜” , A2表示事件“第 3 局甲参加比赛,结果为甲负” , A表示事件“第 4 局甲当裁判” 则AA1A2.P(A)P(A1A2)P(A1)P(A2) .1 4(2)X的可能取值为 0,1,2. 记A3表示事件“第 3 局乙和丙比赛时,结果为乙胜丙” , B1表示事件“第 1 局结果为乙胜丙” , B2表示事件“第 2 局乙和甲比赛时,结果为乙胜甲” , B3表示事件“第 3 局乙参加比赛时,结果为乙负” 则P(X0)P(B1B2A3)P(B1)P(B2)P(A3) ,1 8P(X2)P(B1B3)P(B1)P (B3) ,1 4P(X1)1P(X0)P(X2)1 ,1 81 45 8E(X)0P(X0)1P(X1)2P(X2) .9 81甲、乙两人进行跳绳比赛,规定:若甲赢一局,比赛结 束,甲胜出;若乙赢两局,比赛结束,乙胜出已知每一局甲、乙二人获胜的概率分别为 ,则甲胜出的概率为( )2 53 5A. B. C. D.16 2518 2519 2521 25解析:解析:若甲赢第一局,则甲胜出的概率为P1 ,若乙赢第2 5一局,甲赢第二局,则甲胜出的概率为P2 ,所以甲3 52 56 25胜出的概率为PP1P2.故选 A.16 25 答案:答案:A2一个盒子里有 6 只好晶体管,4 只坏晶体管,任取两次, 每次取一只,每次取后不放回,则若已知第一只是好的,则第 二只也是好的概率为( )A. B. C. D.2 35 125 97 9解析:解析:设Ai第i只是好的(i1,2),由题意知要求P(A2|A1),因为P(A1) ,P(A1A2) ,所以6 103 56 5 10 91 3P(A2|A1) .故选 C.PA2A1 PA15 9 答案:答案:C3(2013惠州一模)在某校高三学生的数学校本课程选课 过程中,规定每位同学只能选一个科目已知某班第一小组与 第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙,情况如下表: 科目甲科目乙总计 第一小 组156第二小 组246总计3912 现从第一小组、第二小组中各任选 2 人分析选课情况 (1)求选出的 4 人均选科目乙的概率; (2)设为选出的 4 个人中选科目甲的人数,求的分布 列和数学期望解析:解析:(1)设“从第一小组选出的 2 人选科目乙”为事件 A, “从第二小组选出的 2 人选科目乙”为事件B,由于事件A、B相互独立,且P(A) ,P(B) ,C2 5 C2 62 3C2 4 C2 62 5 所以选出的 4 人均选科目乙的概率为:P(AB)P(A)P(B) ;2 32 54 15 (2)可能的取值为 0,1,2,3,则P(0),4 15P(1),C2 5 C2 6C1 2C1 4 C2 6C1 5 C2 6C2 4 C2 622 45P(3),C1 5 C2 61 C2 61 45P(2)1P(0)P(1)P(3) ,29 的分布列为: 0123P4 1522 452 91 45 所以的数学期望为:E()012 31.4 1522 452 91 45
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